Objetivos

Discutir alguns aspectos sobre as representações de números complexos e suas propriedades; particularmente, estudar exponenciais complexas.

Definição

Um número complexo z é definido como sendo o par (a,b), em que a e b são números reais,

z = (a,b) \, , \, a,b \in \Re

sujeito às seguintes regras algébricas:

dados z_1 = (a_1,b_1) e z_2 = (a_2,b_2)

  • Igualdade – z_1 = z_2 \iff a_1 = a_2 \wedge b_1 = b_2
  • Adição e Subtração - z_1 \pm z_2 = ( a_1 \pm a_2 \, , \, b_1 \pm b_2)
  • Multiplicação – z_1 \times z_2 = ( a_1 a_2 - b_1 b_2 \, , \, a_1 b_2 + b_1 a_2)
  • Divisão – z_1 \div z_2 = \left ( \frac {a_1 a_2 + b_1 b_2} { a_2^2 + b_2^2} \, , \, \frac {b_1 a_2 - a_1 b_2} { a_2^2 + b_2^2}\right )

As operações acima possuem as mesmas propriedades das respectivas operações definidas para os números reais (comutatividade, associatividade e distributividade), definindo-se:

  • Elemento neutro da adição – 0 = (0 \, , \, 0)
  • Elemento neutro da multiplicação – 1 = (1 \, , \, 0)

Adicionalmente, define-se a chamada unidade imaginária como sendo i = (0 \, , \, 1)

A unidade imaginária tem as seguintes propriedades operatórias:

  • propriedade 1 – i ^2 = (0,1) \cdot (0,1) = (-1 \, , \, 0)
  • propriedade 2 – \frac {1}{i} = (1,0) \div (0,1) = - i

O número z = (a,b) assim definido é denominado de complexo, por ser formado por mais de uma componente numérica, sendo suas componentes a e b denominadas respecivamente de parte real e parte imaginária e escreve-se

\Re \{ z \} = a eee \Im \{ z \} = b

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Número complexo conjugado

Define-se o conjugado do número complexo z = (a,b) como sendo o número z^* = (a \, , \, -b) .

  • propriedade do conjugado – z \cdot z^* = a^2 + b^2 = \mid z \mid ^2

A grandeza |z| denomina-se o módulo do número complexo z.

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Representação Geométrica

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Coordenadas cartesianas

O número complexo z = (a,b) é representado em coordenadas cartesianas por z = a + i b .

A figura 1 apresenta uma representação gráfica de z. O sistema de coordenadas cartesianas representa a parte real \Re \{z\} =a no eixo das abcissas e a parte imaginária \Im \{z\} =a no eixo das ordenadas.

complex number

Figura 1 – Representação geométrica de um número complexo

O número complexo é representado graficamente como o vetor de coordenadas \left [ \, \Re \{ z \} \, , \, \Im \{ z \} \, \right ] . Os versores dos eixos coordenados são, respectivamente (1,0) para o eixo real e (0,1) para o eixo imaginário. Neste caso (0,1) é interpretado como a unidade imaginária também. O plano cartesiano assim construído é denominado de plano complexo ou plano de Argand – Gauss.

Potências de i

Na notação cartesiana, temos:

  • (0,1) = i
  • i^2 = (0,-1) = -1
  • i^3 = i \cdot i^2 = -i
  • i^4 = i^2 \cdot i^2 = -1 \times -1 = 1
  • i^5 = i^4 \cdot i = 1 \times i = i

e assim por diante. Definindo-se i^0 = 1 e considerando-se os resultados acima, observa-se repetição periódica do padrão \{ 1 , i , -1 , -i \} na forma de uma série tal que

i^{2k} = (-1)^k \; , \quad i^{2k+1} = (-1)^k \cdot i \; , \quad k \in {\cal N}

A tabela abaixo exibe alguns exemplos de valores dessa série.

.powers of imaginary unit

Tabela 1 – Potências da unidade imaginária

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Coordenadas Polares

O número complexo z = a + i b na forma cartesiana, pode também ser representado na forma polar, dada por z = \mid z \mid \angle \theta . A coordenada \mid z \mid é dita o módulo de z e a coordenada \theta é dita argumento ou fase de z.

Valem as seguintes relações:

  • transformação cartesiana -> polar: \mid z \mid = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \theta = \tan^{-1} \left ( \frac{b}{a} \right )
  • transformação polar -> cartesiana: a = \mid z \mid \cos{\theta} \quad b = \mid z \mid \sin{\theta}

A igualdade entre dois números complexos pode agora ser escrita como:

Dados z_1 = \mid z_1 \mid \angle \theta_1 e z_2 = \mid z_2 \mid \angle \theta_2 tem-se z_1 = z_2 \iff \mid z_1 \mid \ = \mid z_2 \mid \, \wedge \, \theta_1 = \theta_2 .

As operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação são expressas de maneira mais simples em coordenadas polares:

dados z_1 = \mid z_1 \mid \angle \theta_1 e z_2 = \mid z_2 \mid \angle \theta_2

  • Multiplicação – z_1 \times z_2 = \mid z_1 \mid \cdot \mid z_2 \mid \angle ( \theta_1 + \theta_2 )
  • Divisão – z_1 \div z_2 = \frac {\mid z_1 \mid} { \mid z_2 \mid} \, \angle ( \theta_1 - \theta_2 )
  • Potenciação – z^n = \mid z \mid ^n \angle ( n \theta )
  • Radiciação – \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{ \mid z \mid } \angle ( \frac{\theta + 2k\pi}{n} )

A operação de adição de dois números complexos é representada graficamente pela adição vetorial dos dois vetores representativos dos números complexos somados, conforme mostrado na figura 2.

complex adition and subtraction

Figura 2 – Adição e subtração dos números complexos z1 e z2

A multiplicação e a divisão também podem ser apresentadas como operações gráficas entre vetores (segmentos orientados) no plano complexo. Entretanto, são construções de interesse mais específico e as deixaremos de lado neste momento. Vamos apresentar dois casos particulares dessas construções, que são a multiplicação e divisão pela unidade imaginária i = (0,1) = 1 \angle 90^o .

complex rotation

Figura 3 – Multiplicação e divisão pela unidade imaginária i = 1 \angle 90^o

A divisão pela unidade imaginária também pode ser entendida como multiplicação por -i = (0,-1) = 1 \angle -90^o , uma vez que

\frac{z}{i} = z \times \frac{1}{i} = z \times \frac{1 \angle 0}{1 \angle 90} = z \times 1\angle -90 = z \times (-i)

Note-se, conforme ilustrado na figura 3, que multiplicar um número complexo por i equivale a girar esse número de 90 graus, sem alterar seu módulo. Da mesma forma, multiplicar z por -i equivale a girar z de -90 graus.

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Fórmulas e notação de Euler

Os números complexos podem ainda ser apresentados em uma outra forma bastante útil, decorrente da fórmula de Euler. Se expandirmos a função exponencial e^x em série de Mac Laurin (ou série de Taylor na origem) e fizermos a substituição x = i \theta , obteremos:

e^{i \theta} = 1 + ( i \theta ) + \frac{ ( i \theta )^2}{2!} + \frac{ ( i \theta )^3}{3!} + \dots \; = \; \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{ ( i \theta )^k}{k!}

Podemos reagrupar os termos dessa série da seguinte forma:

e^{i \theta} = \left ( 1 - \frac{ \theta ^2}{2!} + \frac{ \theta ^4}{4!} + \dots \right ) + i \left ( \theta - \frac{ \theta ^3}{3!} + \frac{ \theta ^5}{5!} + \dots \right )

Nessa decomposição consideramos as potências de i , tal como mostradas na tabela 1 acima. Resulta, então:

e^{i \theta} = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{ ( \theta )^{2k}} {(2k)!} + i \cdot \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{ ( \theta )^{2k+1}} {(2k+1)!}

Podemos identificar o primeiro somatório como sendo a expansão em série de Mac Laurin do \cos{\theta} e o segundo somatório como sendo a expansão em série de Mac Laurin do \sin{\theta} .

O resultado assim obtido denomina-se fórmula de Euler, expressa como:

e^{i \theta} = \cos{ \theta} + i \cdot \sin{ \theta}

Pode-se utlizar essa expressão para demonstrar as seguintes relações de Euler:

\cos{\theta} = \frac{e^{i \theta} + e^{- i \theta}}{2} \quad , \quad \sin{\theta} = \frac{e^{i \theta} - e^{- i \theta}}{2 i}

Essas expressões podem ser também verificadas graficamente, no plano de Argand, como ilustrado na figura4 a seguir. Na figura 4, chamamos \zeta = e^{i \theta} , sendo o seu conjugado \zeta^* = e^{- i \theta} , portanto. Verifica-se graficamente, na fig.4, que

\zeta + \zeta^* = 2 \cdot \cos \theta …… e ….. \zeta - \zeta^* = 2 i \cdot \sin \theta … , …demonstrando, assim, as relações de Euler.

relations of Euler

Figura 4 – Relações de Euler para o co-seno e o seno

Note que, no plano de Argand os vetores alinhados de modo estritamente vertical são escritos como i \cdot |z| .

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Raízes da unidade

A potenciação no corpo complexo pode ser deduzida utilizando-se a definição da multiplicação em coordenadas polares e aplicando-se a mesma diversas vezes, provando-se por indução finita o resultado já apresentado : z^n = \mid z \mid ^n \cdot e^{ ( n \theta )} .

Particularizando para o caso em que z = 1,

1^n = e^{ ( n \theta )}

obtem-se a chamada fórmula de Moivre:

(\cos{\theta} + i \cdot \sin{\theta})^n = \cos{( n \theta)} + i \cdot \sin{(n \theta)}

Para obter-se a expressão da radiciação deve-se resolver \sqrt[n]{z} = z_0 , ou seja, considerando-se z = r e^{ i \theta } e z_0 = r_0 e^{i \theta_0} , tem-se:

z = z_0^n e, portanto

r \cdot e^{i \theta} = r_0^n \cdot e^{i n \theta_0}

Dois números complexos são iguais se forem iguais seus módulos e suas fases, respectivamente. Logo:

r = r_0^n \longrightarrow r_0 = \sqrt[n]{r} .

\cos{(n \theta_0)} + i \cdot \sin{(n \theta_0)} = \cos{\theta} + i \cdot \sin{\theta} \rightarrow \begin{cases} \cos{(n \theta_0)} = \cos{\theta} \\ \sin{(n\theta_0)} = \sin{\theta} \end{cases}

e, consequentemente, \theta_0 = \frac{\theta + 2 k \pi}{n} .

No caso das raízes da unidade, tem-se: 1 = 1 + i \cdot 0 = 1 \angle 0 = 1 \cdot e^{i 0} e, portanto:

\sqrt[n]{1} = \cos{\frac{2 k \pi}{n}} + i \cdot \sin{\frac{2 k \pi}{n}}

Portanto, extraindo-se a raiz n-ésima, obtem-se n raizes da unidade. Usualmente denota-se por w a raiz para k=1. Empregando-se a fórmula de Moivre, conclui-se que para um k genérico, 0 \leq k \leq n-1 a raiz pode ser escrita em termos de w como w^k .

Isto é, as raízes \sqrt[n]{1} serão 1 , \, w , \, w^2 , \, w^3 , \dots , w^{n-1} ,

sendo w = \cos{\frac{2 \pi}{n}} + i \cdot \sin{\frac{2 \pi}{n}} .

No plano de Argand, as raízes n-ésimas da unidade distribuem-se sobre o círculo initério (centrado na origem), correspondendo aos vértices de um polígono regular de n lados inscrito no círculo, conforme ilustrado na figura 5 abaixo.

roots of unity

Figura 5 – Raízes da unidade, para n=4 e n=6, respectivamente.