Videlicet http://jkogler.wordpress.com Idéias, opiniões e comentários relacionados com meus trabalhos em engenharia elétrica, ciência da computação, inteligência computacional e outros temas. Por João Kögler. Wed, 25 Jun 2008 01:30:17 +0000 http://wordpress.org/?v=MU pt-br Série de Fourier e Transformada de Fourier - I http://jkogler.wordpress.com/2008/06/23/serie-de-fourier-e-transformada-de-fourier-i/ http://jkogler.wordpress.com/2008/06/23/serie-de-fourier-e-transformada-de-fourier-i/#comments Mon, 23 Jun 2008 20:27:21 +0000 Joao Kogler http://jkogler.wordpress.com/?p=50

Objetivos

Discussão sobre as relações entre a série de Fourier e a transformada de Fourier.

A análise de Fourier

O objetivo central da análise harmônica é estudar as representações de funções por harmônicas e suas propriedades. Harmônicas são as funções trigonométricas seno e cosseno. A análise harmônica apresenta, de fato, um contexto mais amplo, porém vamos considerar apenas esse aspecto aqui, que consiste essencialmente em estudar as representações via série de Fourier e transformada de Fourier, usualmente referido como análise de Fourier.

Alguns pontos básicos:

  • Funções periódicas são representadas através de séries de Fourier
  • Funções não-periódicas são representadas através de transformadas de Fourier
  • Uma representação de f(x) é uma decomposição em componentes que também são funções
  • As componentes dessa decomposição são as funções trigonométricas sin(x) e cos(x)
  • As funções sin(x) e cos(x) podem ser apresentadas como e^{i x} (ver post anterior)

.

Funções periódicas

Seja f(x) uma função periódica, de período T, isto é: f(x) = f(x + nT) , n inteiro. Uma função como essa pode ser representada por uma superposição de componentes harmônicas cujos períodos “caibam” em T, isto é, que sejam divisores inteiros de T. Este requisito é necessário, para que a superposição tenha a mesma periodicidade que f(x), o que não aconteceria se alguma componente tivesse um período que não “coubesse” em T.

Em geral é mais simples raciocinar em termos de frequências em vez de períodos. Denomina-se frequência fundamental f_0 da função periódica f(x) ao inverso de seu período. À frequência fundamental está associada uma frequência angular fundamental \omega_0 . Temos:

T = \frac{1}{f_0} \; = \frac{2 \pi}{\omega_0}\qquad \omega_0 = 2 \pi f_0 \; = \frac{2 \pi}{T}

Examinemos agora a síntese de funções periódicas através de componentes harmônicas. A síntese o ajudará a compreender melhor a análise, que será examinada mais adiante.

Síntese harmônica de funções periódicas

Entende-se por síntese harmônica a construção de uma função através da adição de componentes harmônicas. As regras que empregaremos para o processo de síntese são as seguintes:

  1. Escolha o valor da frequência fundamental ….. \omega_0
  2. Escolha as componentes que vai utilizar. Elas deverão ser do tipo: A_k \cdot \cos \big ( k \cdot \omega_0 x \big ) ….. e / ou ….. B_k \cdot \sin \big ( k \cdot \omega_0 x \big ) , com k inteiro.
  3. Some as componentes para cada valor de x, produzindo a f(x):

f(x) = \sum \limits_k A_k \cdot \cos \big ( k \cdot \omega_0 x \big ) + B_k \cdot \sin \big ( k \cdot \omega_0 x \big )

O índice inteiro k pode variar de zero a infinito. No caso da síntese, soma-se um número finito de componentes, portanto somente alguns valores de k entre 0 e +\infty irão aparecer. Também pode ser que nem todos os termos em seno ou cosseno apareçam. Isto é, pode ser que um dado A_k ou B_k seja nulo, para um dado valor de k. Quais componentes que irão aparecer depodenderá do aspecto da f(x) que se deseja sintetizar e qual a exatidão da síntese.

Exemplo de síntese

Vamos sintetizar como exemplo uma função para a qual não seja óbvia a escolha das componentes, porém que também não seja tão difícil que não nos permita estimá-los por tentativas. Na figura 1 apresentamos a função que tentaremos sintetizar usando componentes harmônicas. Ela é dada pela expressão:

f(x) = \begin{cases} -4 x +20 , & \mbox{se } 0 \leq x < T \\ f(x - nT), & \mbox{se} \; x \notin \big[ 0 , T \big) \quad n\mbox{ inteiro} \end{cases}

sawtooth waveform

Figura 1 - Função na forma de uma onda em dente-de-serra

O raciocínio que utilizaremos para estimar as componentes será o seguinte:

  • Observando-se a figura 1, notamos que a função se repete com frequência \omega_0 = \frac{2 \pi}{T} , sendo T = 10 (veja o gráfico).
  • Isso sugere que adotaremos componentes periódicas de frequências múltplas inteiras de \omega_0 , isto é k \cdot \omega_0 , k inteiro , isto é, frequências \omega_1 = \frac{2 \pi}{10} , \; \omega_2 = \frac{2 \pi}{20} , \; \omega_3 = \frac{2 \pi}{30} , \dots .
  • As componentes terão amplitudes \pm A_K ou \pm B_K .
  • Note que a função f(x) além de ser periódica, é uma função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x). Portanto, parece ser razoável que suas componentes sejam ímpares também, uma vez que a soma de funções ímpares produz uma função ímpar também (demonstre isso e também demonstre o caso se trocar ípar por par, nessa afirmação, lembrando que função par é aquela em que f(-x) = f(x)).
  • Portanto a f(x) do exemplo deve ter apenas componentes em seno, pois o cosseno é par. Isto é, deveremos ter A_k = 0 \; \forall k \in { \cal Z } .

Esse raciocínio poderia ser adaptado para outros exemplos de funções, naturalmente cuidando de alterar os detalhes convenientemente.

Nas figura 2a a 2h, apresentamos diversos exemplos de tentativa de síntese de uma função f(x) em forma de dente de serra. Em cada figura, à esquerda é apresentada o resultado da superposição das componentes harmônicas (em vermelho), contra a forma original da função, apresentada na fig 1(em linha azul pontilhada). Os gráficos à direita apresentam o erro de aproximação (ponto a ponto, isto é, para cada valor de x) entre as duas funções da esquerda.

Nas figuras 2a e 2b testaremos as regras acima propostas. Em 2a, verificamos que o uso de uma única componente senoidal de frequência igual à de f(x), e também mesma amplitude que f(x), produz uma senóide com boa proximidade em relação a f(x). Portanto, nesse caso

\omega_1 = \omega_0 = \frac{2 \pi}{10} \quad \mbox{e} \quad B_1 = 20

isto é, f(x, \omega_0) \; = \; 20 \cdot \sin (\omega_0 x)

Note que estamos denotando a aproximação de f(x) por f(x, \omega_0)

sawtooth synthesis with sinsawtooth syntesis error 0a

Figura 2a - f(x) aproximada por f(x, \omega_0) \; = \; 20 \cdot \sin (\omega_0 x)

Em 2b consideramos adicionar uma componente cosseno de modo a entender seu efeito de função par sobre a síntese de uma aproximação da f(x) que é ímpar. Note que o efeito não é bom, pois deixa o erro assimétrico. A composição do seno e cosseno de mesma frequência produz uma função harmônica defasada (mostre isso), ou seja, nesse caso a f(x) seria escrita como :

f(x,\omega_0) \; = \; 10 \cdot \sin (\omega_0 x) + 10 \cdot \cos (\omega_0 x) \quad = \quad 10 \cdot \sin (\omega_0 x + \phi)

sendo \phi a defasagem dada em relação ao seno. Note que usamos A_1 = b_1 = 10 , de modo a partilhar a amplitude total de f(x), que é igual a 20, entre as duas componentes seno e cosseno, respctivamente.

sawtooth systesis 0bsawtooth synthesis error 0b

Figura 2b - f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 10 \cdot \sin (\omega_0 x) + 10 \cdot \cos (\omega_0 x)

Abandonemos, então, as componentes em cosseno, fazendo todos seu coeficientes nulos, isto é, A_k = 0 \; \forall k \in { \cal Z } .

Testemos, então, o efeito de se colocar uma componente de frequência diferente de \omega_0 , mas que seja múltipla inteira de \omega_0 . Por exemplo, adicionemos a componente de frequência \omega_2 = 2 \cdot \omega_0 . Vamos escolher as amplitudes seguindo nosso critério original de fazer com que a soma da amplitudes totalize 20, que é a amplitude de f(x). Assim sendo, vamos experimentar com B_1 = B_2 = 10 , como mostrado na figura 2c.

sawtooth synthesis 0Capproximation error on sawtooth synthesis 0C

Figura 2c - f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 10 \cdot \sin (\omega_0 x) + 10 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) .

Nota-se na fig.2 nitidamente a melhora da aproximação feita com dois termos, se comparada à aproximação com um termo apenas. O erro fica melhor distribuído, diminuindo em média quadrática (o erro em valor absoluto é muito pequeno tanto com 1 quanto com 2 componentes).

Testemos agora o efeito das amplitudes. Vamos redistribuir as amplitudes das duas componentes, porém ainda usando o critério de manter a soma total igual à amplitude de f(x) , igual a 20. Na fig. 2d utilizamos os valores B_1 = 15 \; , \; B_2 = 5 .

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Figura 2d - f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 15 \cdot \sin (\omega_0 x) + 5 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) .

O resultado melhorou em relação ao anterior. Tentemos nova redistribuição, usando agora os valores B_1 = 13 \; , \; B_2 = 7 , ainda mantendo a soma igual a 20. O resultado é mostrado na figura 2e.

sawtooth-synthesis-0esawtooth-synthesis-0e-diff

Figura 2e - f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 13 \cdot \sin (\omega_0 x) + 7 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) .

Agora, o erro parece ter se distribuído melhor ainda que no caso anterior. Tentemos então nova partilha entre coeficientes, usando os valores B_1 = 14 \; , \; B_6 = 7 , conforme mostrado na figura 2f.

sawtooth-synthesis-0fsawtooth-synthesis-0f-diff

Figura 2f - f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 14 \cdot \sin (\omega_0 x) + 6 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) .

O erro agora baixou um pouco mais, mantendo-se ainda bem distribuído. Tentemos agora inserir mais uma componente, repartindo parte da amplitude da primeira harmônica com a nova componente, de frequência \omega_3 = 3 \cdot \omega_0 . Repartiremos o valor original B_1 = 14 fazendo o novo B_1 = 12 e B_3 = 2 , mantendo B_2 = 6 , conforme mostrado na figura 2g.

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Figura 2g - f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 12 \cdot \sin (\omega_0 x) + 6 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) + 2 \cdot \sin (3 \cdot \omega_0 x) .

O efeito de introdução de mais uma componente repartindo convenientemente as amplitudes, diminuiu mais ainda o erro. Tentemos inserir mais uma componente ainda, repartindo mais um pouco da amplitude da maior componente e mantendo as demais, fazendo agora B_1 = 12 \, , \; B_2 = 6 \, , \; B_3 = 2 \, , \; B_4 = 0,5 , com \omega_4 = 4 \cdot \omega_0 , conforme mostrado na figura 2h.

sawtooth-synthesis-0hsawtooth-synthesis-0h-diff

Figura 2h - f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 11,5 \cdot \sin (\omega_0 x) + 6 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) + 2 \cdot \sin (3 \cdot \omega_0 x) + 1,5 \cdot \sin (4 \cdot \omega_0 x) .

A distribuição do erro melhorou mais ainda, se comparado à tentativa anterior. Porém, torna-se cada vez menor a melhora obtida de um caso para o seguinte. Nosso critério de tentativas está se esgotando e precisamos de um critério melhor. Antes de discutir o novo critério, vamos testar mais um fato mencionado anteriormente.

Testemos, agora, o efeito de se colocar uma componente de frequência diferente de \omega_0 , mas que não seja múltipla inteira de \omega_0 . Isto está ilustrado na figura 2i. Utilizamos uma frequência 10% maior, ou seja 1,1 \cdot \omega_0 , e apenas uma componente, para evidenciar melhor o efeito. Note que agora o erro varia a cada período do dente-de-serra original, pois a reconstrução não tem a mesma periodicidade da função a ser sintetizada.

sawtooth-synthesis-0jsawtooth-synthesis-0j-diff B

Figura 2i - f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 10 \cdot \sin (1,1 \cdot\omega_0 x)

Exemplo de síntese - resultado ótimo

Suponha que alguém lhe dissesse que uma boa aproximação da f(x) dente-de-serra fosse:

f(x) = {\bf B^T \, E} , … com … {\bf E } = \big[ E_k \big] …. tal que …. E_k = \sin ( k \cdot \omega_0 )

e … {\bf B^T } = \begin{bmatrix} 12,7 & 6,4 & 4,2 & 3,2 & 2,5 & 2,1 & 1,8 & 1,6 & 1,4 \end{bmatrix}

para k = 9 componentes harmônicas. Usando essa aproximação, obtém-se os resultados mostrados na figura 2j.

sawtooth-synthesis-0isawtooth-synthesis-0i-diff

Figura 2j - f(x) aproximada por f(x) = {\bf B^T \, E} , tal como descrito no texto.

Agora o resultado obtido é incomparavelmente melhor que os anteriores. A questão é: como obter esses valores ótimos de coeficientes ?

Análise de Fourier de funções periódicas

O objetivo da análise de Fourier é obter essa representação ótima. No caso das funções periódicas, a análise de Fourier provê meios de se calcular os coeficientes A_k e B_k , para uma dada função f(x).

O método para se fazer isso consiste em calcular as integrais abaixo. Mais adiante, iremos justificar esse método. Devemos calcular os coeficientes A_k e B_k , para uma dada função f(x) da seguinte forma:

A_k = \frac{\omega_0}{2 \pi} \; \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega_0}} \, f(x) \cos (k \cdot \omega_0 x) \, dx

B_k = \frac{\omega_0}{2 \pi} \; \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega_0}} \, f(x) \sin (k \cdot \omega_0 x) \, dx

para k inteiro positivo. A rigor, os coeficientes são funções de k e \omega_0 , assim deveríamos escrevê-los como A_k = A(k, \omega_0) e B_k = B(k, \omega_0) .

Calculando-se essas integrais para a função dente-de-serra (veja sua definição acima - lembrar que o limite superior de integração equivale exatamente ao período da função), temos, para k \in \big[ 1 \; , \; 9 \big] :

{\bf A ^T} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

{\bf B^T } = \begin{bmatrix} 12,7 & 6,4 & 4,2 & 3,2 & 2,5 & 2,1 & 1,8 & 1,6 & 1,4 \end{bmatrix}

que são os valores ótimos mostrados anteriormente. Graficamente, temos, para B_k = B(k, \omega_0) (os A_k = A(k, \omega_0) são todos nulos ):

sawtooth-analisys-bksawtooth-analisys-waveform

Figura 3 - (a) componentes B_k = B(k, \omega_0) ; b) superposição das componentes

As componentes individuais sãomostradas na figura 3c abaixo. As amplitudes correspondem ao gráfico da figura 3b.

sawtooth-analisys-components

Figura 3 (continuação) - (c) componentes B(k, \omega_0) = B_k \sin ( k \cdot \omega_0)

]]> http://jkogler.wordpress.com/2008/06/23/serie-de-fourier-e-transformada-de-fourier-i/feed/ J Kögler sawtooth waveform sawtooth synthesis with sin sawtooth syntesis error 0a sawtooth systesis 0b sawtooth synthesis error 0b sawtooth synthesis 0C approximation error on sawtooth synthesis 0C sawtooth-synthesis-0d sawtooth-synthesis-0d-diff sawtooth-synthesis-0e sawtooth-synthesis-0e-diff sawtooth-synthesis-0f sawtooth-synthesis-0f-diff sawtooth-synthesis-0g sawtooth-synthesis-0g-diff sawtooth-synthesis-0h sawtooth-synthesis-0h-diff sawtooth-synthesis-0j sawtooth-synthesis-0j-diff B sawtooth-synthesis-0i sawtooth-synthesis-0i-diff sawtooth-analisys-bk sawtooth-analisys-waveform sawtooth-analisys-components Delta de Dirac ou impulso unitário http://jkogler.wordpress.com/2008/06/14/delta-de-dirac-ou-impulso-unitario/ http://jkogler.wordpress.com/2008/06/14/delta-de-dirac-ou-impulso-unitario/#comments Sat, 14 Jun 2008 17:45:20 +0000 Joao Kogler http://jkogler.wordpress.com/?p=43

Objetivos

Apresentar o conceito e algumas propriedades importantes do impulso unitário e suas aplicações.

O degrau unitário de Heaviside

Considere a seguinte função f(x) , contínua e seccionalmente diferenciável:

f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x < x_0 \\ \frac{x}{x_1 - x_0}, & \mbox{para } x\in [x_0,x_1] \\ 1, & \mbox{para } x > x_1 \end{cases}

Essa função é conhecida como “rampa” limitada, ou rampa saturada. Sua derivada é definida em toda parte, exceto nos pontos x_0 e x_1 :

\frac{d}{dx} f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x < x_0 \\1, & \mbox{para } x\in [x_0,x_1] \\ 0, & \mbox{para } x > x_1 \end{cases}

A função e sua derivada são ilustradas na figura 1a. Suponha, agora, que façamos x_1 \to x_0 . No limite, obteremos H(x) , o chamado degrau unitário, proposta por Heaviside para descrever transições abruptas idealizadas. Sua “derivada” pode ser estimada a partir da derivada de f(x), fazendo-se x_1 tender a x_0 . Essa construção está ilustrada nas figura 1b e 1c.

Step and pulse functions

Figura 1 - a) Função rampa e sua derivada; b) e c) Rampa tendendo ao degrau unitário; d) Situação limite

Na figura 1d a função f(x) transformou-se praticamente no degrau unitário de Heaviside, ou H ( x - x_0 ) , definida como:

H(x-x_0) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x \leq x_0 \\ 1, & \mbox{para } x > x_0 \end{cases}

A altura do pulso correspondente à derivada aumenta progressivamente na proporção inversa à diminuição do tamanho do intervalo \left [ x_0,x_1 \right ] , enquanto sua área se mantém igual a 1. No caso limite, em que x_1 \to x_0 , ilustrado na fig. 1d, a largura do pulso torna-se nula e sua altura tende ao infinito, ainda preservando sua área unitária. Nessa situação, diz-se que o pulso tendeu ao impulso unitário .

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O impulso unitário, ou Delta de Dirac

É muito frequente depararmos com a seguinte “definição” do impulso unitário, denotado por \delta ( x - x_0 ) e denominado também de delta de Dirac:

\delta(x-x_0) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x \ne x_0 \\ \infty , & \mbox{para } x = x_0 \\ \mbox{com } & \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta(x-x_0) \, dx \; = \, 1 \end{cases}

Todavia, tal “definição” não é correta, pois (i) não define uma função, uma vez que \infty não é um valor que se possa atribuir a um ponto do domínio e, (ii) muito menos é integrável, uma vez que diverge em x_0 .

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Propriedades do Delta de Dirac

Vamos adiar por ora a definição correta do Delta de Dirac e vamos antes examinar algumas de suas propriedades de forma heurística, de modo a facilitar a compreensão da definição que será dada mais adiante.

Propriedade de Filtragem

Seja f(x) uma função defnida em \left [ {-\infty , +\infty} \right ] , suave (i.e., sempre diferenciável sucessivamente) e de suporte compacto (i.e., por simplicidade, que se anula em {\bf - \infty } e { \bf + \infty} ). O delta de Dirac \delta (x) apresenta a seguinte propriedade, denominada propriedade de filtragem:

\int \limits_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \delta(x-x_0) \, dx \; = \; f( x_0 )

A questão se a integral acima está definida terá de ser examinada com cuidado mais adiante. Além disso, nenhuma “função” \delta (x) é capaz de satisfazer à expressão acima para uma f(x) arbitrária. O delta de Dirac deve possuir uma estrutura peculiar, distinta da de função, conforme veremos mais adiante, para que a propriedade acima seja válida.

Supondo-se que exista uma tal “função” \delta (x) e levando-se em conta o fato de que ela só não seria nula em uma vizinhança “infinitesimal” \left [ {x_0 - \epsilon} \, , \, {x_0 + \epsilon} \right ] , poderíamos, através de mais um exercício de heurística, escrever:

\int \limits_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \delta(x-x_0) \, dx \; = \; \int \limits_{x_0 - \epsilon} ^{x_0 + \epsilon} f(x) \delta(x-x_0) \, dx \; = \; f( x_0 ) \int \limits_{- \epsilon} ^{+ \epsilon} \delta(x) \, dx \; = \; f( x_0 )

mostrando ser razoável esperar-se algo como a propriedade de filtragem.

Integral indefinida do Delta de Dirac

O Delta de Dirac surgiu como consequência da derivação do degrau de Heaviside, conforme ilustrado na figura 1d. Portanto, é razoável dizer que a integral indefinida ou a “primitiva” do delta de Dirac seja o degrau de Heaviside, escrevendo-se:

\int \delta(x) \, dx \; = \, H(x)

Entretanto, isto trará consequências para a interpretação de H(x) que, conforme veremos adiante, será interpretada como um objeto matemático da mesma natureza do delta de Dirac.

Representaremos graficamente o impulso usando-se uma seta vertical apontando para cima, colocada no ponto x_0 para indicar sua localização. Quando o impulso for multiplicado por uma constante negativa, indicaremos a seta vertical apontando para baixo. A figura 2 ilustra essa notação e a propriedade de filtragem.

Dirac and Heaviside functions

Figura 2 - a) notação para o delta de Dirac ; b) propriedade de filtragem do delta de Dirac

Derivada do Delta de Dirac

Construimos o conceito do delta de Dirac como sendo a função para a qual o pulso de área unitária tende quando sua largura é feita tender a zero, levando sua altura ao infinito. Podemos construir heuristicamente o conceito da derivada do delta de Dirac derivando-se o pulso de área unitária e examinando-se o efeito sobre a derivada quando a largura o pulso tende a zero. A figura 3 ilustra esse processo.

Dirac delta derivative

Figura 3 - Construção da derivada do delta de Dirac usando-se a derivada do pulso: a) o pulso retangular como sendo a diferença de dois degraus: H(x-x_0) - H(x-x_1) ; b) a derivada do pulso como sendo a derivada da diferença dos dois degraus H(x-x_0) - H(x-x_1) ; c) a derivada do pulso para o \lim x_1 \to x_0 , que corresponde à derivada do delta de Dirac .

O pulso pode ser entendido como a diferença de dois degraus de Heaviside, o primeiro localizado em x_0 e o segundo em x_1 . Portanto, a derivada do pulso pode ser indicada como dois deltas de Dirac, um positivo em x_0 e um negativo em x_1 , pois esses deltas são as respectivas derivadas dos degraus.

Mudança de escala do argumento do Delta de Dirac

Demonstraremos que se a variável independente x muda de escala por um fator a, o delta de Dirac muda de escala por um fator 1/a , ou seja

\delta (a \cdot x) = \frac{1}{\mid a \mid} \delta (x)

Essa propriedade pode ser demonstrada, verificando-se que a expressão acima satisfaz propriedades fundamentais do delta de Dirac:

Se a > 0 : \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \mid a \mid \delta (a \cdot x) dx = \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta (a \cdot x) d(a \cdot x) = \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta (\xi) d\xi

Se a < 0 : \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \mid a \mid \delta (a \cdot x) dx = - \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta (a \cdot x) d(a \cdot x) = \int \limits_{+ \infty}^{- \infty} \delta (\xi) d\xi , com \xi = -ax

.

Construção do Delta de Dirac por sequências de funções

O delta de Dirac pode ser construido através de sequências de funções \phi_n (x) , que convergem para uma relação denotada por \delta ( x ) (definida sobre \{ x \in \Re \} ) tal que:

\delta(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x \ne 0 \\ \infty , & \mbox{para } x = 0 \\ \mbox{com } & \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta(x) \, dx \; = \, 1 \end{cases}

Essa relação não deve ser entendida como uma função. De fato ela é o que se chama de uma distribuição, ou ainda uma função generalizada , mas veremos esses conceitos mais adiante.

Vamos a seguir propor diversas sequências de funções, denotadas por \{ \phi_n (x) \} suaves, isto é, infinitamente diferenciáveis no intervalo \{ -1 , +1 \} . As funções \phi_n (x) estão normalizadas unitariamente, significando que

\int \limits_{-1}^{+1} \phi_n(x) dx = 1

As funções \phi_n (x) são denominadas funções teste ou ainda funções bump (lombada) ou ainda mollifiers .

Observação - Na prática a denominação mollifier se aplica quando se considera o efeito oposto ao de n crescente em \{ \phi_n (x) \} . As funções teste \phi_n (x) vão se tornando cada vez mais “agudas”, ou abruptas, ou estreitas, à medida em que n \to \infty . O mollifier é usado para diminuir acutância, tornando as funções menos abruptas nas descontinuidades. Ele é uma função do tipo das \phi_n (x) que, aplicada a uma função g(x) dotada de descontinuidades abruptas, suaviza g(x) nas descontinuidades. Veja o artigo sobre os mollifiers .

Sequências delta

As sequências de funções teste \{ \phi_n (x) \} que tendem para a relação \delta (x) são denominadas sequências delta. Isto é denotado por \{ \phi_n (x) \} \rightrightarrows \delta(x) , significando

\lim \limits_{n \to \infty}\phi_n(x) = \delta(x)

e ainda,

\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \phi_n(x) f(x) dx = f(0)

para toda f(x) contínua.

As seguintes sequências de funções teste \{ \phi_n (x) \} formam sequências delta:

.
a) \phi_n(x)=\begin{cases} n, & x \in \left ( -\frac{2}{n} \; , \;\frac{2}{n} \right ) \\ 0, &x \notin \left ( -\frac{2}{n} \; , \;\frac{2}{n} \right ) \end{cases} (limite de um pulso retangular)

.
b) \phi_n(x) = \frac{n}{ \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2 \cdot n^2} (limite de uma função gaussiana)

.
c) \phi_n(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{n}{1 + n^2 \cdot x^2} (limite de uma função de Cauchy)

.
d) \phi_n(x)=\frac{ \sin\left ( n \cdot\pi x \right ) }{\pi x} (limite de uma função sinc(x) )

.
e) \phi_n(x)=\frac{n \cdot e^{-|n x|}}{2} (limite de um pulso exponencial)

Diversas outras sequências de funções teste constituem sequências delta, entre elas sequências de funções de Airy e de funções de Bessel. Os exemplos acima são mostrados em animações contendo alguns exemplares de funções \phi_n (x) , para os valores de n indicados nas animações.

a) sequência delta de pulsos retangulares

b) sequência delta de pulsos gaussianos

c) sequência delta de pulsos de Cauchy

d) sequência delta de pulsos sinc

e) sequência delta de pulsos exponenciais

Equivalência de sequências delta

As sequências acima exemplificadas, bem como outras sequências delta, são equivalentes, segundo a uma certa relação de equivalência que examinaremos em uma ocasião futura. Grosso modo, podemos dizer que como todas as sequências acima apresentadas convergem para a mesma relação \delta ( x ) , então elas são equivalentes. O conjunto de todas as sequências delta formam uma classe de equivalência segundo essa relação de equivalência. Essa classe de equivalência é o que se define como sendo o delta de Dirac , denotado então por \delta ( x ) .

Definição do delta de Dirac

Formalmente:

  • seja \sim uma relação de equivalência entre sequências de funções \phi_n (x) e \psi_n (x) . Diremos que duas sequências de funções teste são equivalentes, se convergem para uma mesma relação R (x) .
  • Isto é: \{ \phi_n (x) \} \sim \{ \psi_n (x) \} \iff \{ \phi_n (x) \} \rightrightarrows R(x) \wedge \{ \psi_n (x) \} \rightrightarrows R(x) .
  • as funções \phi_n (x) são denominadas funções teste.
  • Uma sequência de funções teste \{ \phi_n (x) \} é dita uma sequência delta se \{ \phi_n (x) \} \rightrightarrows \delta(x)
  • Duas sequências delta são equivalentes, pois ambas convergem para \delta ( x )
  • A classe de equivalência constituida pelas sequências delta denomina-se delta de Dirac.
  • Isto é: \delta(x) = \big \{ \{ \phi_n (x) \} \; \mid \; \{ \phi_n (x) \} \rightrightarrows \delta(x) \big \}

Essa definição implica na prática que qualquer função teste que seja membro de uma sequência delta pode ser usada para representar o delta de Dirac em uma certa escala.

Existem aspectos técnicos que requerem maior rigor e, neste primeiro contato estamos suprimindo, porém, mencionaremos a seguir:

  1. O delta de Dirac é uma distribuição
  2. Funções e distribuições são objetos matemáticos distintos
  3. Funções permitem a avaliação (evaluation) em um ponto, isto é, x \mapsto f(x)
  4. Distribuições não permitem avaliação no ponto
  5. Funções são relações que levam um ponto de um conjunto (domínio) a precisamente um ponto de outro conjunto (contra-domínio).
  6. Distribuições levam um conjunto (no caso , uma função f(x) ) a um ponto de \Re , ou mais especificamente, no caso do delta de Dirac, leva f(x) a f(0)
  7. De um modo mais geral, as distribuições são definidas como classes de equivalências de sequências de funções teste
  8. As relações de equivalência a que se referem essas classes são construídas de um modo mais geral, considerando-se que as sequências de funções teste convergem para funções, de fato. Para tanto, é necessário utilizar as derivadas e integrais de outras sequências, ditas fundamentais, que realmente convergem para funções. Por exemplo, no caso das sequências delta, elas seriam igualadas a sequências de derivadas de funções rampa. No caso, as funções rampa convergem para o degrau de Heaviside, que é de fato uma função, embora não contínua.

Essa abordagem mais rigorosa será objeto de uma discussão futura.

Referências

Antosik,P. , Mikusinski,J. , Sikorski,R. - Theory of distributions - The sequential approach. Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, PWN - Polish Scientific Publishers, Warszava, 1973

Tao, Terence - Distributions - pre-print available at http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/distribution.pdf

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Objetivos

Discutir alguns aspectos sobre as representações de números complexos e suas propriedades; particularmente, estudar exponenciais complexas.

Definição

Um número complexo z é definido como sendo o par (a,b), em que a e b são números reais,

z = (a,b) \, , \, a,b \in \Re

sujeito às seguintes regras algébricas:

dados z_1 = (a_1,b_1) e z_2 = (a_2,b_2)

  • Igualdade - z_1 = z_2 \iff a_1 = a_2 \wedge b_1 = b_2
  • Adição e Subtração - z_1 \pm z_2 = (a_1 \pm b_1 \, , \, a_2 + b_2 )
  • Multiplicação - z_1 \times z_2 = ( a_1 a_2 - b_1 b_2 \, , \, a_1 a_2 + b_1 b_2)
  • Divisão - z_1 \div z_2 = \left ( \frac {a_1 a_2 + b_1 b_2} { a_2^2 + b_2^2} \, , \, \frac {b_1 a_2 - a_1 b_2} { a_2^2 + b_2^2}\right )

As operações acima possuem as mesmas propriedades das respectivas operações definidas para os números reais (comutatividade, associatividade e distributividade), definindo-se:

  • Elemento neutro da adição - 0 = (0 \, , \, 0)
  • Elemento neutro da multiplicação - 1 = (1 \, , \, 0)

Adicionalmente, define-se a chamada unidade imaginária como sendo i = (0 \, , \, 1)

A unidade imaginária tem as seguintes propriedades operatórias:

  • propriedade 1 - i ^2 = (0,1) \cdot (0,1) = (0 \, , \, -1)
  • propriedade 2 - \frac {1}{i} = (1,0) \div (0,1) = - i

O número z = (a,b) assim definido é denominado de complexo, por ser formado por mais de uma componente numérica, sendo suas componentes a e b denominadas respecivamente de parte real e parte imaginária e escreve-se

\Re \{ z \} = a eee \Im \{ z \} = b

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Número complexo conjugado

Define-se o conjugado do número complexo z = (a,b) como sendo o número z^* = (a \, , \, -b) .

  • propriedade do conjugado - z \cdot z^* = a^2 + b^2 = \mid z \mid ^2

A grandeza |z| denomina-se o módulo do número complexo z.

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Representação Geométrica

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Coordenadas cartesianas

O número complexo z = (a,b) é representado em coordenadas cartesianas por z = a + i b .

A figura 1 apresenta uma representação gráfica de z. O sistema de coordenadas cartesianas representa a parte real \Re \{z\} =a no eixo das abcissas e a parte imaginária \Im \{z\} =a no eixo das ordenadas.

complex number

Figura 1 - Representação geométrica de um número complexo

O número complexo é representado graficamente como o vetor de coordenadas \left [ \, \Re \{ z \} \, , \, \Im \{ z \} \, \right ] . Os versores dos eixos coordenados são, respectivamente (1,0) para o eixo real e (0,1) para o eixo imaginário. Neste caso (0,1) é interpretado como a unidade imaginária também. O plano cartesiano assim construído é denominado de plano complexo ou plano de Argand - Gauss.

Potências de i

Na notação cartesiana, temos:

  • (0,1) = i
  • i^2 = (0,-1) = -1
  • i^3 = i \cdot i^2 = -i
  • i^4 = i^2 \cdot i^2 = -1 \times -1 = 1
  • i^5 = i^4 \cdot i = 1 \times i = i

e assim por diante. Definindo-se i^0 = 1 e considerando-se os resultados acima, observa-se repetição periódica do padrão \{ 1 , i , -1 , -i \} na forma de uma série tal que

i^{2k} = (-1)^k \; , \quad i^{2k+1} = (-1)^k \cdot i \; , \quad k \in {\cal N}

A tabela abaixo exibe alguns exemplos de valores dessa série.

.powers of imaginary unit

Tabela 1 - Potências da unidade imaginária

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Coordenadas Polares

O número complexo z = a + i b na forma cartesiana, pode também ser representado na forma polar, dada por z = \mid z \mid \angle \theta . A coordenada \mid z \mid é dita o módulo de z e a coordenada \theta é dita argumento ou fase de z.

Valem as seguintes relações:

  • transformação cartesiana -> polar: \mid z \mid = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \theta = \tan^{-1} \left ( \frac{b}{a} \right )
  • transformação polar -> cartesiana: a = \mid z \mid \cos{\theta} \quad b = \mid z \mid \sin{\theta}

A igualdade entre dois números complexos pode agora ser escrita como:

Dados z_1 = \mid z_1 \mid \angle \theta_1 e z_2 = \mid z_2 \mid \angle \theta_2 tem-se z_1 = z_2 \iff \mid z_1 \mid \ = \mid z_2 \mid \, \wedge \, \theta_1 = \theta_2 .

As operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação são expressas de maneira mais simples em coordenadas polares:

dados z_1 = \mid z_1 \mid \angle \theta_1 e z_2 = \mid z_2 \mid \angle \theta_2

  • Multiplicação - z_1 \times z_2 = \mid z_1 \mid \cdot \mid z_2 \mid \angle ( \theta_1 + \theta_2 )
  • Divisão - z_1 \div z_2 = \frac {\mid z_1 \mid} { \mid z_2 \mid} \, \angle ( \theta_1 - \theta_2 )
  • Potenciação - z^n = \mid z \mid ^n \angle ( n \theta )
  • Radiciação - \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{ \mid z \mid } \angle ( \frac{\theta + 2k\pi}{n} )

A operação de adição de dois números complexos é representada graficamente pela adição vetorial dos dois vetores representativos dos números complexos somados, conforme mostrado na figura 2.

complex adition and subtraction

Figura 2 - Adição e subtração dos números complexos z1 e z2

A multiplicação e a divisão também podem ser apresentadas como operações gráficas entre vetores (segmentos orientados) no plano complexo. Entretanto, são construções de interesse mais específico e as deixaremos de lado neste momento. Vamos apresentar dois casos particulares dessas construções, que são a multiplicação e divisão pela unidade imaginária i = (0,1) = 1 \angle 90^o .

complex rotation

Figura 3 - Multiplicação e divisão pela unidade imaginária i = 1 \angle 90^o

A divisão pela unidade imaginária também pode ser entendida como multiplicação por -i = (0,-1) = 1 \angle -90^o , uma vez que

\frac{z}{i} = z \times \frac{1}{i} = z \times \frac{1 \angle 0}{1 \angle 90} = z \times 1\angle -90 = z \times (-i)

Note-se, conforme ilustrado na figura 3, que multiplicar um número complexo por i equivale a girar esse número de 90 graus, sem alterar seu módulo. Da mesma forma, multiplicar z por -i equivale a girar z de -90 graus.

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Fórmulas e notação de Euler

Os números complexos podem ainda ser apresentados em uma outra forma bastante útil, decorrente da fórmula de Euler. Se expandirmos a função exponencial e^x em série de Mac Laurin (ou série de Taylor na origem) e fizermos a substituição x = i \theta , obteremos:

e^{i \theta} = 1 + ( i \theta ) + \frac{ ( i \theta )^2}{2!} + \frac{ ( i \theta )^3}{3!} + \dots \; = \; \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{ ( i \theta )^k}{k!}

Podemos reagrupar os termos dessa série da seguinte forma:

e^{i \theta} = \left ( 1 - \frac{ \theta ^2}{2!} + \frac{ \theta ^4}{4!} + \dots \right ) + i \left ( \theta - \frac{ \theta ^3}{3!} + \frac{ \theta ^5}{5!} + \dots \right )

Nessa decomposição consideramos as potências de i , tal como mostradas na tabela 1 acima. Resulta, então:

e^{i \theta} = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{ ( \theta )^{2k}} {(2k)!} + i \cdot \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{ ( \theta )^{2k+1}} {(2k+1)!}

Podemos identificar o primeiro somatório como sendo a expansão em série de Mac Laurin do \cos{\theta} e o segundo somatório como sendo a expansão em série de Mac Laurin do \sin{\theta} .

O resultado assim obtido denomina-se fórmula de Euler, expressa como:

e^{i \theta} = \cos{ \theta} + i \cdot \sin{ \theta}

Pode-se utlizar essa expressão para demonstrar as seguintes relações de Euler:

\cos{\theta} = \frac{e^{i \theta} + e^{- i \theta}}{2} \quad , \quad \sin{\theta} = \frac{e^{i \theta} - e^{- i \theta}}{2 i}

Essas expressões podem ser também verificadas graficamente, no plano de Argand, como ilustrado na figura4 a seguir. Na figura 4, chamamos \zeta = e^{i \theta} , sendo o seu conjugado \zeta^* = e^{- i \theta} , portanto. Verifica-se graficamente, na fig.4, que

\zeta + \zeta^* = 2 \cdot \cos \theta …… e ….. \zeta - \zeta^* = 2 i \cdot \sin \theta … , …demonstrando, assim, as relações de Euler.

relations of Euler

Figura 4 - Relações de Euler para o co-seno e o seno

Note que, no plano de Argand os vetores alinhados de modo estritamente vertical são escritos como i \cdot |z| .

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Raízes da unidade

A potenciação no corpo complexo pode ser deduzida utilizando-se a definição da multiplicação em coordenadas polares e aplicando-se a mesma diversas vezes, provando-se por indução finita o resultado já apresentado : z^n = \mid z \mid ^n \cdot e^{ ( n \theta )} .

Particularizando para o caso em que z = 1,

1^n = e^{ ( n \theta )}

obtem-se a chamada fórmula de Moivre:

(\cos{\theta} + i \cdot \sin{\theta})^n = \cos{( n \theta)} + i \cdot \sin{(n \theta)}

Para obter-se a expressão da radiciação deve-se resolver \sqrt[n]{z} = z_0 , ou seja, considerando-se z = r e^{ i \theta } e z_0 = r_0 e^{i \theta_0} , tem-se:

z = z_0^n e, portanto

r \cdot e^{i \theta} = r_0^n \cdot e^{i n \theta_0}

Dois números complexos são iguais se forem iguais seus módulos e suas fases, respectivamente. Logo:

r = r_0^n \longrightarrow r_0 = \sqrt[n]{r} .

\cos{(n \theta_0)} + i \cdot \sin{(n \theta_0)} = \cos{\theta} + i \cdot \sin{\theta} \rightarrow \begin{cases} \cos{(n \theta_0)} = \cos{\theta} \\ \sin{(n\theta_0)} = \sin{\theta} \end{cases}

e, consequentemente, \theta_0 = \frac{\theta + 2 k \pi}{n} .

No caso das raízes da unidade, tem-se: 1 = 1 + i \cdot 0 = 1 \angle 0 = 1 \cdot e^{i 0} e, portanto:

\sqrt[n]{1} = \cos{\frac{2 k \pi}{n}} + i \cdot \sin{\frac{2 k \pi}{n}}

Portanto, extraindo-se a raiz n-ésima, obtem-se n raizes da unidade. Usualmente denota-se por w a raiz para k=1. Empregando-se a fórmula de Moivre, conclui-se que para um k genérico, 0 \leq k \leq n-1 a raiz pode ser escrita em termos de w como w^k .

Isto é, as raízes \sqrt[n]{1} serão 1 , \, w , \, w^2 , \, w^3 , \dots , w^{n-1} ,

sendo w = \cos{\frac{2 \pi}{n}} + i \cdot \sin{\frac{2 \pi}{n}} .

No plano de Argand, as raízes n-ésimas da unidade distribuem-se sobre o círculo initério (centrado na origem), correspondendo aos vértices de um polígono regular de n lados inscrito no círculo, conforme ilustrado na figura 5 abaixo.

roots of unity

Figura 5 - Raízes da unidade, para n=4 e n=6, respectivamente.

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Faleceu ontem, 9 de maio, pela manhã, em sua residência, o carissimo prof.Dr. Henrique Del Nero. Ele foi nosso colega e amigo no grupo denominado Cognitio, o qual fundou e liderou durante mais de uma década. Henrique era médico psiquiatra formado pela Universidade de São Paulo e bacharel e mestre em filosofia, também pela USP. Sua especialização em psiquiatria, atividade que exerceu amplamente até seu falecimento, foi realizada no Hospital das Clínicas da FMUSP. Era profundamente interessado pelo entendimento do funcionamento da mente humana e, em sua trajetória para desenvolver seus próprios modelos e explicações, tornou-se um pesquisador largamente multidisciplinar, coroando sua formação com o doutorado em engenharia eletrônica que realizou na Escola Politécnica da USP, obtendo seu título de doutor em 1997. Desde então tem sido professor visitante do departamento de engenharia de sistemas eletrônicos da EPUSP , onde ministrava a disciplina de Ciência Cognitiva, um dos cursos mais frequentados do programa de pós-graduação da Poli. De personalidade extrovertida e carismática, o Henrique tornou-se querido de seus alunos e colegas e sempre motivou discussões que buscava aprofundar até a exaustão, diante de sua incessante busca pelo conhecimento da mente. Em 1997 publicou seu livro O sítio da mente, onde expõe sua visão profunda e ampla sobre o assunto. Publicou diversos artigos e proferiu várias conferências sobre o tema no decorrer de sua atribulada vida, dividida entre o consultório, o ensino e pesquisa e sua família, pela qual sempre demonstrou um enorme afeto. Henrique caracterizou-se por ser uma pessoa eclética e que cultivava intensamente a razão e a emoção, o que tornou sua abordagem do problema cognitivo extremamente atraente e lhe rendeu atrair um grande círculo de pesquisadores e alunos interessados ao grupo que criou e liderou. O Cognitio começou como um grupo de estudos de ciência cognitiva, sediado pelo Instituto de Estudos Avançados da USP, o qual Henrique criou em 1990 e promoveu diversos encontros e reuniões semanais até seu término, em 1997, quando foi transformado no Cognitio. Em 1997, Henrique juntou-se ao corpo de pesquisas do Laboratório de Sistemas Integráveis da Poli, para onde trouxe o grupo Cognitio e desde então teve seus encontros e reuniões realizados no prédio da engenharia elétrica da Poli. Em 2003 o grupo tornou-se um Núcleo de Apoio à Pesquisa ( NAP ) da USP no tema ciência cognitiva. Ontem nos reuniamos às 16:00 horas, para planejar os próximos passos de expansão do Cognitio como NAP. Presentemente buscavamos expandir a participação de mais pesquisadores associados ao grupo. Foi com grande tristeza e consternação que recebemos a notícia do falecimento do Henrique. Será sempre saudosa a sua querida memória entre todos nós.

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