Discussão sobre a verificação experimental da aderência do comportamento da resistência de um resistor não-linear  à lei de Ohm .

Introdução

As seguintes postagens anteriores discutem a questão do estudo experimental da variação da resistência de um resistor:

• Lei de Ohm
• Resistores não-lineares a a resistência incremental
• Mais acerca de resistores não-lineares

Entretanto, uma questão que ainda aparentemente não está clara é como se deve fazer para comparar o comportamento da resistência de um bipolo não-linear com a lei de Ohm.

Aproximação pela lei de Ohm

A lei de Ohm estabelece que um bipolo pode ser caracterizado como um resistor linear (ôhmico) se sua resistência for independente da corrente, para cada tensão a que o bipolo estiver submetido, ou seja, a razão V/I deverá ser constante. Como consequência, sua característica ( gráfico de I em função de V ) será uma reta (I função  é linear de V).

Em um bipolo não-linear tal fato não ocorre. Todavia,  em determinados intervalos de valores de tensão, o bipolo pode ser localmente aproximado por uma lei linear, dentro de uma certa margem de erro.

Exemplo:

a figura 1 mostra os valores de tensões e correntes medidos em um bipolo resistivo não-linear (uma lâmpada de lanterna para uso automotivo). O gráfico correspondente é a curva indicada na figura 1.

Em seguida realizou-se a regressão linear dos dados por mínimos quadrados,  resultando na característica linear mostrada na figura 1.  Em uma determinada faixa, a característica linear e a não-linear diferem uma da outra  em menos que 5%. Se esse erro for tolerado, então dentro dessa faixa o bipolo pode ser considerado ôhmico (cujo comportamento observa a lei de Ohm).

Figura 1

O erro admissível, mostrado na figura 1, corresponde a 5% e o erro em cada ponto foi calculado por:

sendo i a corrente medida para cada valor da tensão v ( os valores de v e i  usados no gráfico são exibidos à esquerda da figura 1).

Trataremos aqui da construção, execução e depuração de programas com LabVIEW.

Introdução

Este post é uma continuação do post anterior, Programação com LabVIEW -1. Nele tratamos de conceitos gerais da programação com o LabVIEW e de como se apresentam os dados em LabVIEW.  Aqui trataremos da construção e da execução de um programa em LabVIEW e de como podemos acompanhar a execução e rastrear erros.

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O ambiente LabVIEW

Os programas feitos em LabVIEW são desenvolvidos no ambiente gráfico do LabVIEW.  Cada programa em LabVIEW é construido em 2 janelas, que são: o painel frontal e o diagrama de blocos. Cada uma delas tem suas particulares paletas de ferramentas, que são acessíveis acionando-se o botão direito do mouse em cada uma dessas janelas. A figura 1 apresenta os menus mais utilizados em cada uma das janelas.

Figura 1- Paletas de ferramentas: a) do painel frontal; b) do diagrama de blocos

O ambiente do LabVIEW prevê diferentes tipos de apontador de mouse, um para cada tipo de função a ser executada no LabVIEW. A figura 2 mostra as diversas formas com que o apontador do mouse pode apresentar-se.

Figura 2 – Na parte de cima da figura: formatos do apontador do mouse, conforme a sua função. Todas essas apresentações de apontador do mouse são contextuais, exceto o caso de mudança de cor. Embaixo, o processo de conectar dois blocos no diagrama de blocos, através de um fio de conexão. Embaixo, à direita, a paleta de apontadores de mouses (Tools palette), mostrando o botão de modo automático.

O apontador do mouse pode ser selecionado manual ou automaticamente.  O default é o modo automático.  Entretanto, a seleção automática é válida somente para os casos  em que o contexto puder indicar qual o apontador válido (nesse caso o apontador é dito contextual , isot é, é definido pelo contexto). Por exemplo, o pincel e o conta-gotas não são definidos pelo contexto, pois podem ser usados em diversos lugares (contextos) em que se queira aplicar uma dada cor decorativa. Já o caso da função conectar (ver fig.2), é definida para contextos (locais) específicos: os terminais de um bloco e os fios de conexão, no diagrama de blocos.  Para se mudar manualmente o apontador, deve-se abrir a paleta de apontadores de mouses (Tools palette). Ela pode ser obtida do menu View >> Tools Palette  obtido na barra de menus da janela ou, usando-se o atalho de teclado e mouse  Shift-Menu (botão direito). Vide figura 3.

Figura 3 – Barra de menus da janela. Na versão 8 do LabVIEW, as opções são: File, Edit, View, Project, Operate, Tools, Window e Help. No exemplo acima, está sendo selecionada a opção View >> Tools Palette, que exibe a paleta de mouses (Tools Palette).

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Construção de programas no LabVIEW

Os programas feitos em LabVIEW são visuais e são construidos na janela denominada diagrama de blocos (block diagram).

Quando se faz um programa em uma linguagem de programação textual, deve-se escrever uma ou mais linhas de programa contendo a instrução de programação, que é um operador que atua em um conjunto de variáveis e parâmetros (constantes) de entrada e fornece uma ou mais variáveis de saída calculadas pelo operador usando as entradas.

Em uma linguagem de programação visual, faz-se o mesmo, porém os operadores são representados pelos ícones dos blocos e as variáveis e parâmetros são dados pelos terminais do bloco, ao qual se ligam os “fios” (links).  A figura 4 compara os dois casos.

Figura 4 – a) Programação textual. b) Programação Visual

Em uma lingagem textual, a passagem de uma instrução para a seguinte se dá pela sequência de escrita do texto. Em algumas linguagens a passagem se faz mudando-se de uma linha para outra através de um caracter enter (carriage return). Em outras, usa-se um delimitador de linhas (por exemplo, em C e Java, usa-se ponto e vírgula no final da instrução).

Em uma linguagem visual, a passagem de uma instrução para outra é feita através dos links (“fios”de conexão) entre os blocos. Eles conduzem os resultados de uma saída do bloco anterior para uma entrada do bloco seguinte. A sequência de execução não mais é linear, como no caso textual. Cada bloco seguinte executa no momento em que todas as suas entradas já receberam seu dados para execução. Se  uma das entradas ainda não estiver pronta, com seus dados, o bloco não executa. Portanto, nesse caso quem define a sequência de execução é o fluxo dos dados entre os blocos. Esse modelo (paradigma) de programação denomina-se programação orientada pelo fluxo de dados (dataflow programing).

Figura 5 – Monitoração do fluxo de dados durante a execução. O botão de execução contínua encontra-se à esquerda do botão de parada, em ambas janelas. O botão de monitoração da execução aparece apenas na janela do diagrama de blocos.

O LabVIEW é uma linguagem de programação visual tipo dataflow. Você pode visualizar o fluxo de dados executando continuamente um programa como o que está mostrado na figura 5, com a opção de monitoração da execução acionada. Para fazer isso, aperte o botão de execução contínua na barra de ferramentas e o botão de monitoração dos dados (ver fig. 5), na janela do diagrama de blocos.

A construção de um programa em LabVIEW consiste em:

1. Especificar todas as entradas e saídas de dados do programa. A maior parte delas encontrar-se-á no painel frontal, por onde se opera o programa. O restante são dados provenientes de hardware acessado pelo programa ( placas de aquisição, mouse, teclado, microfone, alto-falantes, portas de comunicação, etc).
2. Selecionar os blocos a serem utilizados em cada operação e conectá-los aos dados através dos fios (links).

A seleção dos blocos é feita procurando-se nas paletas de funções, como a mostrada na figura 1b. O funcionamento dos blocos é explicado resumidamente pela janela de ajuda contextual ( context help), mostrada na figura 6. Em muitos casos, nessa janela aparece um hiperlink apontando para uma página de ajuda (Help)  com mais detalhes (Detailed Help). Essas páginas de ajuda mais completas também podem ser obtidas buscando-se na barra de menus da janela, na entrada Help, como indicado na fig. 6.

Figura 6 – Helps do LabVIEW: há o help contextual, que se abre acionando-se o botão indicado acima ou digitando-se Ctrl-H; e há o help completo, obtido através do menu Help acima indicado.

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Depuração de programas no LabVIEW

Depurar (em inglês: debug ) um programa consiste em identificar e corrigir os erros ( bugs ) existentes no programa.

Há dois tipos de erro:

• erros sintáticos – são falhas na declaração ou construção das instruções. O LabVIEW detecta essas falhas automaticamente. Ele mostra as falhas pressionando-se o botão de exibição de erros ( show errors ) . Ver figura 7.
• erros lógicos – são erros conceituais. São resultantes de um uso errôneo dos blocos ou uma concepção errada do que o programa deveria fazer. Esses erros devem ser detectados pelo usuário usando-se as técnicas de depuração.

a)

b)

Figura 7 – Exibição de erro sintático – a) Os 3 indicadores visuais de erro. Apontando-se com o mouse junto dos “fios quebrados”  e terminais com erros aparecem textos explicativos. A janela de help contextual também exibe o erro ao se apontar o mesmo com o mouse. O botão “run” (de execução) vira uma “seta quebrada” e torna-se o botão “Show errors“.  b) Acionando-se com o mouse o botão “Show errors”, abre-se a janela com a lista dos erros.  Selecionando-se um erro, os correspondentes detalhes são exibidos.

Os erros conceituais devem ser depurados através de técnicas de depuração, que consistem em monitorar as variáveis calculadas durante a execução do programa sob condições controladas. Esse procedimento denomina-se error tracing ou execution trace. Para fazê-lo pode-se utilizar os seguintes recursos:

• Inserir breakpoints – Se você suspeita de uma região específica do programa, pode inserir um ponto de parada (breakpoint) que faz com que ao se executar o programa,  ele pare nesse ponto, entrando em pausa. Dessa forma você poderá  executar o programa passo a passo a partir desse ponto, monitorando a execução com os recursos que serão apresentados a seguir. O  botão continue / pause (ver figura  8.) permite retornar à execução automática a partir do ponto em que o programa estiver parado.  Para inserir um breakpoint, aponte com o mouse o “fio” onde quer interromper a execução e, usando o botão direito do mouse, selecione no menu Set breakpoint. Para removê-lo, use o mesmo menu selecionando Clear breakpoint.

a)

b)

Figura 8 – Uso de breakpoints. a) Inserindo um breakpoint. b) Execução passo a passo após alcançar um breakpoint. O bloco no qual a execução está parada fica piscando (flashing) aguardando uma ação (stepping ou continue).

• Inserir probes – As probes são janelas para monitoração de variáveis específicas.As probes têm aspecto semelhante ao da variável a ser monitorada.  Assim, a probe para um array ou um cluster será também um array ou cluster respectivamente (experimente). Quem define  o tipo de probe é o tipo do “fio” na qual ela é criada. Para criar uma probe em um determinado fio, use o botão direito do mouse sobre esse fio e selecione no menu para inserir a probe (ver figura 9).  Para remover a probe, basta fechar sua respectiva janela. A probe é visível tanto no diagrama de blocos quanto no painel frontal.

a)

b)

Figura 9 – a) Uso de probes. b) Apontadores de mouse nos modos de inserir breakpoint e probe. Pode-se selecionar esses mouses usando-se a paleta Tools (confrome explicado anteriormente).

• Monitorar o fluxo de cálculo ( highlight execution ) – já examinamos esse processo na figura 5. Ele permite que, ao retomar a execução do programa após ela ter sido interrompida (pausada) ao se atingir um breakpoint, possa a partir de então examinar os detalhes do processo de cálculo, quer sob execução automática, ou execução passo-a-passo.
• Executar o programa passo-a-passo ( step execution ) – quando a execução estiver em pausa, pode-se prossegui-la passo-a-passo, usando-se os botões mostrados na figura 10.  Basta is acionando repetidamente os botões mostrados na fig.10, para prosseguir passo-a-passo. Para retornar à execução automática, basta acionar o botão continue, mostrado na figura 8.

Figura 10 – Execução passo-a-passo (step execution) – O botão step into passa a execução para dentro do bloco que está piscando,  mostrando os detalhes de sua estrutura (abre o sub-vi em outra janela mostrando seu diagrama de blocos). Para sair de dentro do bloco, use o botão step out. Para executar o bloco completamente, sem mostrar seus detalhes passo -a-passo, use o botão step over. Quando um bloco estiver em execução step over ou quando ele não permitir a observação de seus detalhes internos, aparece sobre o bloco uma seta verde, como indicado à direita da figura.

• Retenção dos valores nos fios após execução (retain wire values) – se você quiser examinar os valores calculados nos fios após uma execução ter terminado, deve acionar antes da execução o botão retain wire values (ver figura 11). Para examinar o valor em um fio, crie uma probe nele e ela mostrará o valor que foi retido.

Figura 11 – Botões para monitoração de valores nos fios

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Apresentar um sumário dos itens mais usuais na programação com LabVIEW.

Introdução

LabVIEW é um ambiente de desenvolvimento e linguagem de programação visual. A interface com o hardware, com a rede e com outros programas é muito fácil de se implementar com o LabVIEW, oferecendo um grande poder computacional. Mais informações  gerais podem ser encontradas em Introdução ao LabVIEW. Neste post faremos um sumário de como utilizar os principais recursos de programação do LabVIEW.

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Programação com o LabVIEW

Os programas feitos em LabVIEW são visuais e são denominados Instrumentos Virtuais (virtual instrument – vi ) e são salvos em arquivos do tipo programa.vi .  Entenda-se por programas visuais como sendo diagramas de blocos que representam o algoritmo que deve ser executado. Em vez de se escrever instruções usando texto,  constrói-se um diagrama de blocos que lhe é equivalente. A figura 1 mostra um exemplo. Ali vê-se um programa escrito em linguagem C, comparado com o programa visual escrito em LabVIEW, que faz exatamente a mesma coisa.

Figura 1 – Exemplo de programa – à esquerda, um programa feito em linguagem C; à direita, o mesmo programa feito em LabVIEW, que se apresenta como um diagrama de blocos, no qual as instruções são indicadas pelos ícones dos blocos e a sequência da execução é indicada pelos “fios” de conexão desses blocos.  Para mais detalhes, veja o texto.

O programa mostrado como exemplo na figura 1 consiste em resolver o seguinte problema:  a) criar um vetor  e preenchê-lo com 100 valores produzidos ao acaso (aleatórios), variando entre 0 e 1 ;  b) em seguida, procurar  o maior e o menor valores contidos nesse vetor.

O LabVIEW prevê diversas maneiras de se realizar entrada e saída de dados:

1. Localmente, feita pelo usuário, interativamente, através do teclado, do mouse e do monitor ou display do computador (ou outro dispositivo onde o LabVIEW estiver rodando, que use esses mesmos recursos de entrada e saída)
2. Por outros métodos, feitos localmente: usando outros recursos de hardware (câmeras, joystics, microfones, robôs conectados ao computador, impressoras, etc)
3. Através de dispositivos ligados via rede (ethernet, bluetooth, FireWire, wireless, IRDA, Field Bus, serial, etc)
4. Via outros programas, executando localmente ou remotamente, que se comunicam com o programa em LabVIEW (por ActiveX, por exemplo, ou outros métodos).

A primeira maneira é realizada através de uma interface gráfica de usuário, construida como se fosse o painel de um instrumento, cujo funcionamento corresponde ao que o programa que você construir vai realizar.

O LabVIEW separa fisicamente a interface de usuário e o algoritmo. A interface de usuário é construida em uma janela separada denominada painel frontal. Ali são colocados objetos que servem para entrada ou saída de dados. Os objetos de entrada de dados chamam-se controles (controls) e os de saída chamam-se indicadores (indicators). Embora tenham aspectos diversos, que sugerem uma interpretação ergonômica (botões, mostradores, termômetros, gráficos, etc), são apresentações gráficas de variáveis e estruturas de dados. Vemos na figura 2 diversos exemplos de objetos  colocados no painel frontal de um programa e o seu respectivo diagrama de blocos.

Figura 2 – Exemplo de programa em LabVIEW mostrando a interface gráfica de usuário, para entrada e saída de dados (painel frontal) e o correspondente algoritmo (diagrama de blocos).

No exemplo da figura 2 mostra-se um programa que implementa um gerador de um sinal senoidal, no qual o usuário pode ajustar a amplitude e a frequência do sinal, através dos botões colocados no painel frontal. A saída gráfica é feita também no painel frontal. No diagrama de blocos, vê-se uma instrução apresentada como texto.

O LabVIEW também aceita programação feita em formato texto e, para isso usa métodos compatíveis com a sintaxe da linguagem C e com a sintaxe do Matlab.

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Elementos de Programação

Um programa de computador constitui-se basicamente dos seguintes elementos:

• Variáveis e parâmetros de entrada, variáveis de saída e variáveis e constantes auxiliares nos cálculos
• Instruções de programação
• Sub-rotinas ou sub-programas

As instruções de programação são, em geral, dos seguintes tipos fundamentais:

• Laços de repetição, para computação iterativa – tipo for e while
• Instruções de decisão, para selecionar, dada uma condição, qual parte do programa vai executar – tipo if e case

Esses são ítens geralmente encontrados em uma linguagem de programação (as que nos são mais familiares e, que são ditas imperativas ou procedimentais, como C, C++, java, Visual Basic, FORTRAN, python, etc).

Veremos a seguir como esses conceitos se apresentam no LabVIEW.

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Variáveis, Parâmetros e Constantes no LabVIEW

A distinção sobre que dado deve ser tratado como variável, como constante ou como parâmetro depdende do programa e isso ficará ao seu encargo decidir. Portanto, vamos chamar todos esses dados de variáveis, na explicação a seguir.

As variáveis de entrada e saída aparecem em geral no painel frontal e são representadas visualmente de forma ergonômica, isto é, voltadas para facilitar sua manipulação e visualização. Apresentam-se como botões, mostradores, LEDs,  gráficos, etc. A figura 3 exibe diversos exemplos dessas variáveis no painel frontal. As variáveis de entrada chamam-se controles e as variáveis de saída chamam-se indicadores.

(a) controles (entradas)  tipo numérico e seus terminais

(b) indicadores (saída)  tipo numérico e seus terminais

(c) Controles e indicadores tipo booleano (à esquerda) e tipo texto (á direita). Seus terminais não foram mostrados.

(d) opções de indicadores gráficos (como mostrado no menu do painel frontal)

Figura 3  – Exemplos de diversos tipos de aspectos de variáveis de entrada e saída no painel frontal.

Elas também aparecem no diagrama de blocos, pois serão utilizadas nos cálculos e tarefas realizados pelo programa. Cada objeto existente no painel frontal aparece no diagrama de blocos sob a forma de um terminal, podendo alternativamente aparecer também como um ícone (você pode escolher o jeito que mais o agrada para mostrá-las). A figura 4 mostra um exemplo disso. Para trocar entre um formato e outro, basta usar o botão direito do mouse em cima da variável no diagrama de blocos e mudar a paresentação como ícone ou como terminal. O default é apresentar como ícone. Você pode mudar isso definitivamente, através da configuração de opções, que será vista mais adiante.

(a)

(b)

Figura 4 – a) Terminais correspondentes às variáveis mostradas no painel frontal. b) Escolha do modo de exibição do terminal como ícone ou não.

As variáveis e constantes podem ser simples ou compostas. As variáveis simples correspondem aos tipos básicos de dados apresentados a seguir. As variáveis que aqui chamamos de compostas são dos tipos: array e cluster.

Os tipos de dados básicos são:

• numéricos – inteiros (com e sem sinal) , decimais (single e double),  e complexas
• lógicos – tipos booleanos (boolean)
• texto – cadeias de caracteres (strings)

A figura 5 mostra os diversos  tipos básicos de dados. As cores dos terminais e dos “fios” indicam o tipo de dado que se está utilizando. Os tipos numéricos inteiros são representados em azul, os decimais (ponto flutuante) em laranja, os booleanos em verde e os strings em rosa. Para se modificar o tipo de dado,  basta usar o botão direito do mouse sobre a variável ou constante (tanto no diagrama de blocos quanto no painel frontal) e escolher no menu o ítem representation.

Figura 5 – Representação de tipos de dados elementares. Para modificar a representação, use a opção indicada nos menus acima.

Dados do mesmo tipo básico podem ser agrupadas em arrays. Variáveis de tipos diferentes podem ser agrupadas em clusters (correspondem às structs da linguagem C).  Pode-se construir arrays de cluster e clusters de arrays.

Para se construir um array de constantes no diagrama de blocos, pode-se colocar um molde, ou protótipo (template),  de array e inserir nele o tipo de variável que se deseja e editar seu valor em seguida, conforme indicado na figura 6.

Figura 6 – Exemplo de construção de um array de constantes no diagrama de blocos

Para se construir um array de controles ou indicadores no painel frontal, pode-se colocar um molde, ou protótipo (template),  de array e inserir nele o tipo de variável que se deseja e editar seu valor em seguida, conforme indicado na figura 7.

Figura 7 – Construção de um array de controles ou indicadores no painel frontal. À direita, diversos exemplos.

Os mesmos procedimentos podem ser feitos para construir um cluster de constantes ou de controles ou indicadores, podendo-se misturar neste caso diferentes tipos de variáveis, conforme mostrado na figura 8. O único cuidado a tomar-se é que não se pode misturar variáveis de entrada e saída em um mesmo cluster, pois o cluster todo é qualificado como cluster de entrada ou cluster de saída.

(a)

(b)

Figura 8 – a) Exemplo de construção de um cluster de constantes no diagrama de blocos; b) Exemplo de um cluster de controles no painel frontal

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Explorar a utilização do LabVIEW para captura de imagens utilizando uma câmera USB, apresentando-se tutoriais passo-a-passo para fazê-lo.

Introdução

Nos últimos dez a doze meses repeti muitas vezes, em diversas ocasiões, a demonstração de como utilizar o LabVIEW para obter e processar imagens de câmeras USB, em particular webcams. Em vista disso, resolvi então despender algum tempo para produzir este tutorial.  Nossos alunos na Escola Politécnica da USP têm utilizado esse recurso em pequenos projetos desenvolvidos no curso de engenharia elétrica. Embora a terminologia aqui utilizada seja direcionada para eles, creio que muito deste material será útil para interessados de diversas formações. Evidentemente, este material pressupõe a utilização da plataforma LabVIEW. Ela está disponível para utilização em todo o campus da Universidade de São Paulo, na cidade de São Paulo. Todavia, interessados que queiram obtê-la de alguma forma,  devem contactar o serviço de relações acadêmicas da National Instruments (NI). No caso de usuários industriais ou de outros setores profissionais, devem procurar os diversos canais de contacto da NI no Brasil.

Características do LabVIEW

O LabVIEW é tanto uma linguagem de programação, quanto uma plataforma de desenvolvimento de aplicações baseadas em processamento digital de dados. Para mais informações a esse respeito, sugiro  um post que publiquei recentemente (Introdução ao LabVIEW) , no qual apresentam-se de forma resumida as características mais relevantes do LabVIEW.

Aquisição e processamento de imagens via LabVIEW – IMAQ

Entre os dispositivos de hardware que podem ser acessados via LabVIEW, encontram-se as câmeras de vídeo. O acesso é feito através de funções disponíveis em uma biblioteca de aquisição de imagens denominada NI – IMAQ (National Instruments Image Aquisition). A aquisição de imagens via câmeras USB,  usando-se o LabVIEW, pode ser feita empregando-se a biblioteca NI IMAQ for USB cameras.

A IMAQ suporta diversos tipos de formatos de comunicação com câmeras: analógicas e digitais (USB, Firewire, Gigabit-Ethernet, Camera Link, etc). O modelo genérico de acesso às câmeras encontra-se esquematizado na figura 1. As interfaces de acesso podem ser placas conectadas ao barramento do computador, ou podem fazer parte diretamente da placa-mãe (motherboard).

Figura 1 – Modelo genérico de um software de aquisição de imagens

Deve-se primeiramente identificar a interface eletrônica por onde as imagens chegarão ao computador. Se a câmera for analógica, esta interface será a chamada placa de aquisição, que é uma placa ligada ao barramento do computador onde se encontram os circuitos de captura e digitalização do sinal de vídeo.  Se for digital, usualmente haverá uma placa com decodificador do protocolo  (ex. Firewire, GigE, USB, Camera Link) utilizado pela câmera para enviar o vídeo , e os buffers de vídeo que recebem os dados assim que vão chegando.

Feita essa identificação, o programa deve ter uma instrução para ativar o hardware, preparando-o para fazer a aquisição das imagens. Esse procedimento recebe o nome de abertura de uma sessão (de trabalho) com o hardware. Esse procedimento “reserva” o hardware para a aplicação desenvolvida.

Neste momento, pode-se configurar os parâmetros de aquisição a serem usados (por exemplo, o tamanho da imagem, o tipo da imagem e a taxa de aquisição). Alguns exemplos disso:

• Tamanho : 640 x 480 ; Tipo: Colorida ; Taxa de aquisição: 60 quadros por segundo
• Tamanho: 1280 x 1024; Tipo: Monocromática (Greyscale) ; Taxa: 15 quadros por segundo

Em seguida deve-se preparar uma região na memória pertencente ao espaço de endereçamento a ser ocupado programa, realizando-se a alocação de memória específica para as imagens capturadas.

Uma vez feito isso, realiza-se a captura das imagens através da interface eletrônica, armazenando-as na memória alocada. Há dois tipos de captura:

• Snap – captura de imagens individuais, como fotografias (snapshots).
• Grab – captura contínua de vídeo, produzindo uma sequência de imagens (quadros = frames )

Terminado o procedimento, em qualquer momento antes do final do programa, a sessão com o hardware deve ser encerrada (fechamento de uma sessão), liberando-o para uso em outras aplicações.

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Tutoriais

Apresentamos a seguir tutoriais passo-a-passo sobre como realizar essas etapas utilizando-se o LabVIEW para capturar imagens de uma câmera USB (por exemplo, uma web cam) usando-se a biblioteca de funções de aquisição de imagens NI IMAQ.

LabVIEW USB SNAP-I

Mostra como utilizar as funções da biblioteca IMAQ USB para capturar uma imagem individual via web cam (ou qualquer outra câmera USB) , como se faz em uma máquina fotográfica – “tirando-se uma foto” (SNAP SHOT).

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LabVIEW USB SNAP-II

Complementa o exemplo anterior, mostrando como acrescentar um botão para selecionar a abertura de uma janela (dialog box) para configurar os parâmetros da câmera USB. Também mostramos como salvar a imagem capturada a partir da câmera para um arquivo permanente.

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LabVIEW USB GRAB-I

Mostra como realizar a captura de vídeo, primeiramente utilizando a função SNAP anteriormente apresentada, o que traz sérias limitações quanto à continuidade do vídeo. A seguir apresenta-se sua substituição pela função GRAB, que proporciona qualidade mais adequada para captura de vídeo.

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Video capturado com a opção LabVIEW USB SNAP em um laço while

O video a seguir ilustra o método  SNAP no laço while, apresentado no tutorial acima. Observe atentamente as descontinuidades no movimento (é possível observar as diferentes posições “instantâneas” da caneta vermelha em movimento). Há uma certa impressão de que neste vídeo a caneta é movimentada sempre mais rapidamente que no vídeo do exemplo mais adiante. Entretanto, em ambos a caneta é movimentada aproximadamente da mesma maneira, porém a perda de quadros provoca essa sensação de maior rapidez neste caso.

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Figura 2 – vídeo: captura com SNAP repetido – configuração da câmera: 160 x 120 pixels a 30 fps

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A crítica que podemos fazer ao método com que o vídeo foi gravado é que, como somente os quadros adquiridos são gravados, e supondo-se uma taxa constante de 30 quadros por segundo nas gravações, produz-se uma ilusão sobre a velocidade do movimento. Portanto, dados dois quadros em sequência, que efetivamente estão gravados no arquivo, o intervalo de tempo suposto entre eles é de 1/30 segundos (quando deveria ser maior, dependendo de quantos quadros foram perdidos entre os dois que foram gravados).

Video capturado com a opção LabVIEW USB GRAB em um laço while

O video a seguir ilustra o método  GRAB no laço while, apresentado no tutorial acima. Note que neste caso o vídeo oferece uma sensação de continuidade melhor no movimento, que no caso anterior (embora possamos notar a perda de dois quadros em diferentes momentos nesse vídeo, ocorrem menos perdas do que notado no vídeo anterior).

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Figura 3 – vídeo: captura com GRAB – configuração da câmera: 160 x 120 pixels a 30 fps

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LabVIEW USB GRAB-II

Acrescenta ao exemplo anterior (usando GRAB) a opção de gravar o vídeo em um arquivo no formato AVI.

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Observação – modifique esse programa para executar a mesma gravação, porém com a opção SNAP no while. Não esqueça de retirar o bloco IMAQ USB Grab Setup que está fora do while.

Apresentação resumida de algumas características do LabVIEW, para servir como referência em futuros posts que aparecerão aqui, relacionados ao assunto.

Introdução

LabVIEW significa Laboratory Virtual Instrument Electronic Workbench. O LabVIEW foi desenvolvido pela National Instruments há mais de 20 anos e tem sido uma das melhores e mais difundidas plataformas de desenvolvimento de aplicações científicas e tecnológicas, presentes em diversos cenários, desde automação industrial a aplicações biomédicas,  de sistemas em campo a  sistemas embarcados (embedded systems),  a grandes laboratórios e empreendimentos multinacionais, como o acelerador gigante de partículas do CERN (LHC – Large Hadron Collider), o telescópio Hubble e a ISS (International Space Station).

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Características do LabVIEW

O LabVIEW é tanto uma linguagem de programação, quanto uma plataforma de desenvolvimento de aplicações baseadas em processamento digital de dados.

O LabVIEW como Linguagem de Programação

Sob este ponto de vista, muito resumidamente, suas características são:

• É uma linguagem de programação visual – isto é, suas “instruções” de programação são representadas por ícones que podem ser conectados de modo a compor o programa
• Suporta programação por texto – o LabVIEW possui blocos que permitem que se digite o texto de um programa, com duas possíveis linguagens: (a) uma linguagem com sintaxe tipo C e (b) uma linguagem com sintaxe tipo Matlab. Esses blocos podem ser interligados aos ícones da programação visual, permitindo que se trabalhe com os dois modos de programar simultâneamente
• É uma linguagem modularizada – isto é, permite que se crie sub-programas, que correspondem a trechos do programa principal, que podem ser encapsulados em ícones criados pelo programador (sub-programas ou sub-rotinas).
• Suporta recursos de multiprocessamento e multiprogramação – ou seja, explora os recursos de multi-tarefas (multitasking) e multi-  (multithreading), bem como a distribuição dos mesmos automaticamente (ou manualmente, de forma explícita, se for desejado) entre diferentes processadores ou núcleos de processadores (multicore execution).
• É uma linguagem orientada pelo fluxo de dados (dataflow) – a sequência de execução e interdependência entre as instruções, procedimentos e módulos é estabelecida por um grafo direcional (directed graph).
• Suporta orientação a objetos – o LabVIEW é nativamente uma linguagem orientada a objetos, em sua implementação. Todavia, apresenta-se ao programador principalmente como orientada ao fluxo de dados. Desde a versão 8.2, o LabVIEW oferece construtos para a criação de objetos, no sentido de programação orientada a objetos.
•  Suporta explicitamente programação recursiva – a partir da versão 2010. Para versões anteriores há uma menção de ser possível conseguir-se isso com algum esforço.

O LabVIEW como  ambiente de desenvolvimento

Sob este ponto de vista, muito resumidamente, suas características são:

• Provê a separação real entre a interface de usuário e o código do programa. Ao abrir, o LabVIEW oferece duas janelas distintas: painel frontal - para desenvolvimento da interface gráfica de operação do programa (pelo usuario) e o diagrama de blocos – onde é feito o desenvolvimento do algoritmo, programado em linguagem visual.
• Ambiente compilado – os blocos do LabVIEW são peças pré-compiladas, que são ligadas ao corpo do programa à medida em que se vai editando. Não é uma linguagem interpretada.
• Permite produzir programas que funcionam fora do ambiente LabVIEW, sozinhos, instaláveis separadamente. O programa desse tipo (stand-alone) é produzido (built) com opções de ligação estática ou dinâmica das bibliotecas (DLLs). Esse processo permite criar também o instalador.
• O código desenvolvido na linguagem visual é compilado diretamente para linguagem de máquina, não é traduzido para nenhuma outra representação intermediária.
• Aceita a ligação de DLL’s ao código, oferecendo um bloco de prototipação da interface com o procedimento pré-compilado, que permite ligar cada variável do mesmo ao diagrama de blocos.
• Oferece ferramentas de depuração (debug) avançadas, permitindo acompanhar execução passo-a-passo, monitorar visualmente as variáveis, produzir visualizações de valores instantâeos em qualquer ponto do programa, no formato específico de cada variável (ex: imagens são mostradas como imagens, tipos mistos de dados aparecem conforme construídos, etc).
• Suporta diversos níveis de abstração de comunicação entre objetos, módulos, partes de código e o hardware. Aceita protocolos desde Seriais, Paralelos, TCP-IP, UDP, até ActiveX, etc.
• Suporta protocolos e representações compatíveis com sistemas distribuídos, dotados de mobilidade,  persistência, etc. Oferece mecanismos para desenvolvimento de arquiteturas com .NET e outros.
• Já é portado para diversas plataformas – Linux, Windows, MacOS. Também é disponível em versões para sistemas operacionais de tempo real.
• Trata os componentes hardware como se fossem objetos programáveis dentro do ambiente LabVIEW, expondo os parâmetros e variáveis físicos como tipos abstratos de dados no programa e as operações e mecanismos do hardware como chamadas de processos de software.
• Permite tratar tanto hardware local quanto remoto da mesma forma, oferecendo ferramentas para desenvolvimento e monitoração de processos distribuídos.
• Produz código para ser utlizado diretamente em sistemas embarcados (embedded systems).
• Suporta o acesso de baixo nível a componentes do hardware que o permitam fazê-lo.

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Apresentando o LabVIEW

O slideshow abaixo ilustra alguns poucos aspectos mencionados acima.Ele corresponde a parte do material utilizado em um de nossos cursos na Escola Politécnica da USP.  Mais informações serão apresentadas oportunamente, em futuros posts para este blog. Há diversos outros materiais correlacionados que podem ser encontrados na web.

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Nossa experiência

Nossos alunos na Escola Politécnica da USP têm utilizado o LabVIEW nos experimentos de laboratórios didáticos e de pesquisas,  em pequenos projetos de aplicação nas aulas e em projetos de formatura, desenvolvidos no curso de engenharia elétrica. O LabVIEW está disponível para utilização em todo o campus da Universidade de São Paulo, na cidade de São Paulo. Interessados em licenças do LabVIEW, devem contactar o serviço de relações acadêmicas da National Instruments (NI). No caso de usuários industriais ou de outros setores profissionais, devem procurar os diversos canais de contacto da NI no Brasil.

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Discussão sobre as relações entre a série de Fourier e a transformada de Fourier.

A análise de Fourier

O objetivo central da análise harmônica é estudar as representações de funções por harmônicas e suas propriedades. Harmônicas são as funções trigonométricas seno e cosseno. A análise harmônica apresenta, de fato, um contexto mais amplo, porém vamos considerar apenas esse aspecto aqui, que consiste essencialmente em estudar as representações via série de Fourier e transformada de Fourier, usualmente referido como análise de Fourier.

Alguns pontos básicos:

• Funções periódicas são representadas através de séries de Fourier
• Funções não-periódicas são representadas através de transformadas de Fourier
• Uma representação de f(x) é uma decomposição em componentes que também são funções
• As componentes dessa decomposição são as funções trigonométricas sin(x) e cos(x)
• As funções sin(x) e cos(x) podem ser apresentadas como (ver post anterior)

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Funções periódicas

Seja f(x) uma função periódica, de período T, isto é: f(x) = f(x + nT) , n inteiro. Uma função como essa pode ser representada por uma superposição de componentes harmônicas cujos períodos “caibam” em T, isto é, que sejam divisores inteiros de T. Este requisito é necessário, para que a superposição tenha a mesma periodicidade que f(x), o que não aconteceria se alguma componente tivesse um período que não “coubesse” em T.

Em geral é mais simples raciocinar em termos de frequências em vez de períodos. Denomina-se frequência fundamental da função periódica f(x) ao inverso de seu período. À frequência fundamental está associada uma frequência angular fundamental . Temos:

Examinemos agora a síntese de funções periódicas através de componentes harmônicas. A síntese o ajudará a compreender melhor a análise, que será examinada mais adiante.

Síntese harmônica de funções periódicas

Entende-se por síntese harmônica a construção de uma função através da adição de componentes harmônicas. As regras que empregaremos para o processo de síntese são as seguintes:

1. Escolha o valor da frequência fundamental …..
2. Escolha as componentes que vai utilizar. Elas deverão ser do tipo: ….. e / ou ….. , com k inteiro.
3. Some as componentes para cada valor de x, produzindo a f(x):

O índice inteiro k pode variar de zero a infinito. No caso da síntese, soma-se um número finito de componentes, portanto somente alguns valores de k entre 0 e irão aparecer. Também pode ser que nem todos os termos em seno ou cosseno apareçam. Isto é, pode ser que um dado ou seja nulo, para um dado valor de k. Quais componentes que irão aparecer depodenderá do aspecto da f(x) que se deseja sintetizar e qual a exatidão da síntese.

Exemplo de síntese

Vamos sintetizar como exemplo uma função para a qual não seja óbvia a escolha das componentes, porém que também não seja tão difícil que não nos permita estimá-los por tentativas. Na figura 1 apresentamos a função que tentaremos sintetizar usando componentes harmônicas. Ela é dada pela expressão:

Figura 1 – Função na forma de uma onda em dente-de-serra

O raciocínio que utilizaremos para estimar as componentes será o seguinte:

• Observando-se a figura 1, notamos que a função se repete com frequência , sendo T = 10 (veja o gráfico).
• Isso sugere que adotaremos componentes periódicas de frequências múltplas inteiras de , isto é , k inteiro , isto é, frequências .
• As componentes terão amplitudes ou .
• Note que a função f(x) além de ser periódica, é uma função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x). Portanto, parece ser razoável que suas componentes sejam ímpares também, uma vez que a soma de funções ímpares produz uma função ímpar também (demonstre isso e também demonstre o caso se trocar ípar por par, nessa afirmação, lembrando que função par é aquela em que f(-x) = f(x)).
• Portanto a f(x) do exemplo deve ter apenas componentes em seno, pois o cosseno é par. Isto é, deveremos ter .

Esse raciocínio poderia ser adaptado para outros exemplos de funções, naturalmente cuidando de alterar os detalhes convenientemente.

Nas figura 2a a 2h, apresentamos diversos exemplos de tentativa de síntese de uma função f(x) em forma de dente de serra. Em cada figura, à esquerda é apresentada o resultado da superposição das componentes harmônicas (em vermelho), contra a forma original da função, apresentada na fig 1(em linha azul pontilhada). Os gráficos à direita apresentam o erro de aproximação (ponto a ponto, isto é, para cada valor de x) entre as duas funções da esquerda.

Nas figuras 2a e 2b testaremos as regras acima propostas. Em 2a, verificamos que o uso de uma única componente senoidal de frequência igual à de f(x), e também mesma amplitude que f(x), produz uma senóide com boa proximidade em relação a f(x). Portanto, nesse caso

isto é,

Note que estamos denotando a aproximação de f(x) por

Figura 2a – f(x) aproximada por

Em 2b consideramos adicionar uma componente cosseno de modo a entender seu efeito de função par sobre a síntese de uma aproximação da f(x) que é ímpar. Note que o efeito não é bom, pois deixa o erro assimétrico. A composição do seno e cosseno de mesma frequência produz uma função harmônica defasada (mostre isso), ou seja, nesse caso a f(x) seria escrita como :

sendo a defasagem dada em relação ao seno. Note que usamos , de modo a partilhar a amplitude total de f(x), que é igual a 20, entre as duas componentes seno e cosseno, respctivamente.

Figura 2b – f(x) aproximada por

Abandonemos, então, as componentes em cosseno, fazendo todos seu coeficientes nulos, isto é, .

Testemos, então, o efeito de se colocar uma componente de frequência diferente de , mas que seja múltipla inteira de . Por exemplo, adicionemos a componente de frequência . Vamos escolher as amplitudes seguindo nosso critério original de fazer com que a soma da amplitudes totalize 20, que é a amplitude de f(x). Assim sendo, vamos experimentar com , como mostrado na figura 2c.

Figura 2c – f(x) aproximada por .

Nota-se na fig.2 nitidamente a melhora da aproximação feita com dois termos, se comparada à aproximação com um termo apenas. O erro fica melhor distribuído, diminuindo em média quadrática (o erro em valor absoluto é muito pequeno tanto com 1 quanto com 2 componentes).

Testemos agora o efeito das amplitudes. Vamos redistribuir as amplitudes das duas componentes, porém ainda usando o critério de manter a soma total igual à amplitude de f(x) , igual a 20. Na fig. 2d utilizamos os valores .

Figura 2d – f(x) aproximada por .

O resultado melhorou em relação ao anterior. Tentemos nova redistribuição, usando agora os valores , ainda mantendo a soma igual a 20. O resultado é mostrado na figura 2e.

Figura 2e – f(x) aproximada por .

Agora, o erro parece ter se distribuído melhor ainda que no caso anterior. Tentemos então nova partilha entre coeficientes, usando os valores , conforme mostrado na figura 2f.

Figura 2f – f(x) aproximada por .

O erro agora baixou um pouco mais, mantendo-se ainda bem distribuído. Tentemos agora inserir mais uma componente, repartindo parte da amplitude da primeira harmônica com a nova componente, de frequência . Repartiremos o valor original fazendo o novo e , mantendo , conforme mostrado na figura 2g.

Figura 2g – f(x) aproximada por .

O efeito de introdução de mais uma componente repartindo convenientemente as amplitudes, diminuiu mais ainda o erro. Tentemos inserir mais uma componente ainda, repartindo mais um pouco da amplitude da maior componente e mantendo as demais, fazendo agora , com , conforme mostrado na figura 2h.

Figura 2h – f(x) aproximada por .

A distribuição do erro melhorou mais ainda, se comparado à tentativa anterior. Porém, torna-se cada vez menor a melhora obtida de um caso para o seguinte. Nosso critério de tentativas está se esgotando e precisamos de um critério melhor. Antes de discutir o novo critério, vamos testar mais um fato mencionado anteriormente.

Testemos, agora, o efeito de se colocar uma componente de frequência diferente de , mas que não seja múltipla inteira de . Isto está ilustrado na figura 2i. Utilizamos uma frequência 10% maior, ou seja , e apenas uma componente, para evidenciar melhor o efeito. Note que agora o erro varia a cada período do dente-de-serra original, pois a reconstrução não tem a mesma periodicidade da função a ser sintetizada.

Figura 2i – f(x) aproximada por

Exemplo de síntese – resultado ótimo

Suponha que alguém lhe dissesse que uma boa aproximação da f(x) dente-de-serra fosse:

, … com … …. tal que ….

e …

para k = 9 componentes harmônicas. Usando essa aproximação, obtém-se os resultados mostrados na figura 2j.

Figura 2j – f(x) aproximada por , tal como descrito no texto.

Agora o resultado obtido é incomparavelmente melhor que os anteriores. A questão é: como obter esses valores ótimos de coeficientes ?

Análise de Fourier de funções periódicas

O objetivo da análise de Fourier é obter essa representação ótima. No caso das funções periódicas, a análise de Fourier provê meios de se calcular os coeficientes e , para uma dada função f(x).

O método para se fazer isso consiste em calcular as integrais abaixo. Mais adiante, iremos justificar esse método. Devemos calcular os coeficientes e , para uma dada função f(x) da seguinte forma:

para k inteiro positivo. A rigor, os coeficientes são funções de k e , assim deveríamos escrevê-los como e .

Calculando-se essas integrais para a função dente-de-serra (veja sua definição acima – lembrar que o limite superior de integração equivale exatamente ao período da função), temos, para :

que são os valores ótimos mostrados anteriormente. Graficamente, temos, para (os são todos nulos ):

Figura 3 – (a) componentes ; b) superposição das componentes

As componentes individuais sãomostradas na figura 3c abaixo. As amplitudes correspondem ao gráfico da figura 3b.

Figura 3 (continuação) – (c) componentes

Apresentar o conceito e algumas propriedades importantes do impulso unitário e suas aplicações.

O degrau unitário de Heaviside

Considere a seguinte função , contínua e seccionalmente diferenciável:

Essa função é conhecida como “rampa” limitada, ou rampa saturada. Sua derivada é definida em toda parte, exceto nos pontos e :

A função e sua derivada são ilustradas na figura 1a. Suponha, agora, que façamos . No limite, obteremos , o chamado degrau unitário, proposta por Heaviside para descrever transições abruptas idealizadas. Sua “derivada” pode ser estimada a partir da derivada de f(x), fazendo-se tender a . Essa construção está ilustrada nas figura 1b e 1c.

Figura 1 – a) Função rampa e sua derivada; b) e c) Rampa tendendo ao degrau unitário; d) Situação limite

Na figura 1d a função f(x) transformou-se praticamente no degrau unitário de Heaviside, ou , definida como:

A altura do pulso correspondente à derivada aumenta progressivamente na proporção inversa à diminuição do tamanho do intervalo , enquanto sua área se mantém igual a 1. No caso limite, em que , ilustrado na fig. 1d, a largura do pulso torna-se nula e sua altura tende ao infinito, ainda preservando sua área unitária. Nessa situação, diz-se que o pulso tendeu ao impulso unitário .

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O impulso unitário, ou Delta de Dirac

É muito frequente depararmos com a seguinte “definição” do impulso unitário, denotado por e denominado também de delta de Dirac:

Todavia,interpretar tal “definição” como uma função não é correto, pois (i) não define uma função, uma vez que não é um valor que se possa atribuir a um ponto do domínio e, (ii) muito menos é integrável, já que diverge em .

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Propriedades do Delta de Dirac

Vamos adiar por ora a definição correta do Delta de Dirac e examinemos antes algumas de suas propriedades seguindo um raciocínio heurístico, com o intuito de facilitar a compreensão da definição que será dada mais adiante.

Propriedade de Filtragem

Seja f(x) uma função defnida em , suave (i.e., sempre diferenciável sucessivamente) e de suporte compacto (i.e., por simplicidade, que se anula em e ). O delta de Dirac apresenta a seguinte propriedade, denominada propriedade de filtragem:

A questão se a integral acima está definida terá de ser examinada com cuidado mais adiante. Além disso, nenhuma “função” é capaz de satisfazer à expressão acima para uma f(x) arbitrária. O delta de Dirac deve possuir uma estrutura peculiar, distinta da de função, conforme veremos mais adiante, para que a propriedade acima seja válida.

Supondo-se que exista uma tal “função” e levando-se em conta o fato de que ela só não seria nula em uma vizinhança “infinitesimal” , poderíamos, através de mais um exercício de heurística, escrever:

mostrando ser razoável esperar-se algo como a propriedade de filtragem.

Integral indefinida do Delta de Dirac

O Delta de Dirac surgiu como consequência da derivação do degrau de Heaviside, conforme ilustrado na figura 1d. Portanto, é razoável dizer que a integral indefinida ou a “primitiva” do delta de Dirac seja o degrau de Heaviside, escrevendo-se:

Entretanto, isto trará consequências para a interpretação de H(x) que, conforme veremos adiante, será interpretada como um objeto matemático da mesma natureza do delta de Dirac.

Representaremos graficamente o impulso usando-se uma seta vertical apontando para cima, colocada no ponto para indicar sua localização. Quando o impulso for multiplicado por uma constante negativa, indicaremos a seta vertical apontando para baixo. A figura 2 ilustra essa notação e a propriedade de filtragem.

Figura 2 – a) notação para o delta de Dirac ; b) propriedade de filtragem do delta de Dirac

Derivada do Delta de Dirac

Construimos o conceito do delta de Dirac como sendo a função para a qual o pulso de área unitária tende quando sua largura é feita tender a zero, levando sua altura ao infinito. Podemos construir heuristicamente o conceito da derivada do delta de Dirac derivando-se o pulso de área unitária e examinando-se o efeito sobre a derivada quando a largura o pulso tende a zero. A figura 3 ilustra esse processo.

Figura 3 – Construção da derivada do delta de Dirac usando-se a derivada do pulso: a) o pulso retangular como sendo a diferença de dois degraus: ; b) a derivada do pulso como sendo a derivada da diferença dos dois degraus ; c) a derivada do pulso para o , que corresponde à derivada do delta de Dirac .

O pulso pode ser entendido como a diferença de dois degraus de Heaviside, o primeiro localizado em e o segundo em . Portanto, a derivada do pulso pode ser indicada como dois deltas de Dirac, um positivo em e um negativo em , pois esses deltas são as respectivas derivadas dos degraus.

Mudança de escala do argumento do Delta de Dirac

Demonstraremos que se a variável independente x muda de escala por um fator a, o delta de Dirac muda de escala por um fator 1/a , ou seja

Essa propriedade pode ser demonstrada, verificando-se que a expressão acima satisfaz propriedades fundamentais do delta de Dirac:

Se a > 0 :

Se a < 0 : , com

.

Construção do Delta de Dirac por sequências de funções

O delta de Dirac pode ser construido através de sequências de funções , que convergem para uma relação denotada por (definida sobre ) tal que:

Essa relação não deve ser entendida como uma função. De fato ela é o que se chama de uma distribuição, ou ainda uma função generalizada , mas veremos esses conceitos mais adiante.

Vamos a seguir propor diversas sequências de funções, denotadas por suaves, isto é, infinitamente diferenciáveis no intervalo . As funções estão normalizadas unitariamente, significando que

As funções são denominadas funções teste ou ainda funções bump (lombada) ou ainda mollifiers .

Observação – Na prática a denominação mollifier se aplica quando se considera o efeito oposto ao de n crescente em . As funções teste vão se tornando cada vez mais “agudas”, ou abruptas, ou estreitas, à medida em que . O mollifier é usado para diminuir acutância, tornando as funções menos abruptas nas descontinuidades. Ele é uma função do tipo das que, aplicada a uma função g(x) dotada de descontinuidades abruptas, suaviza g(x) nas descontinuidades. Veja o artigo sobre os mollifiers .

Sequências delta

As sequências de funções teste que tendem para a relação são denominadas sequências delta. Isto é denotado por , significando

e ainda,

para toda f(x) contínua.

As seguintes sequências de funções teste formam sequências delta:

.
a) (limite de um pulso retangular)

.
b) (limite de uma função gaussiana)

.
c) (limite de uma função de Cauchy)

.
d) (limite de uma função sinc(x) )

.
e) (limite de um pulso exponencial)

Diversas outras sequências de funções teste constituem sequências delta, entre elas sequências de funções de Airy e de funções de Bessel. Os exemplos acima são mostrados em animações contendo alguns exemplares de funções , para os valores de n indicados nas animações.

a) sequência delta de pulsos retangulares

b) sequência delta de pulsos gaussianos

c) sequência delta de pulsos de Cauchy

d) sequência delta de pulsos sinc

e) sequência delta de pulsos exponenciais

Equivalência de sequências delta

As sequências acima exemplificadas, bem como outras sequências delta, são equivalentes, segundo a uma certa relação de equivalência que examinaremos em uma ocasião futura. Grosso modo, podemos dizer que como todas as sequências acima apresentadas convergem para a mesma relação , então elas são equivalentes. O conjunto de todas as sequências delta formam uma classe de equivalência segundo essa relação de equivalência. Essa classe de equivalência é o que se define como sendo o delta de Dirac , denotado então por .

Definição do delta de Dirac

Formalmente:

• seja uma relação de equivalência entre sequências de funções e . Diremos que duas sequências de funções teste são equivalentes, se convergem para uma mesma relação .
• Isto é: .
• as funções são denominadas funções teste.
• Uma sequência de funções teste é dita uma sequência delta se
• Duas sequências delta são equivalentes, pois ambas convergem para
• A classe de equivalência constituida pelas sequências delta denomina-se delta de Dirac.
• Isto é:

Essa definição implica na prática que qualquer função teste que seja membro de uma sequência delta pode ser usada para representar o delta de Dirac em uma certa escala.

Existem aspectos técnicos que requerem maior rigor e, neste primeiro contato estamos suprimindo, porém, mencionaremos a seguir:

1. O delta de Dirac é uma distribuição
2. Funções e distribuições são objetos matemáticos distintos
3. Funções permitem a avaliação (evaluation) em um ponto, isto é,
4. Distribuições não permitem avaliação no ponto
5. Funções são relações que levam um ponto de um conjunto (domínio) a precisamente um ponto de outro conjunto (contra-domínio).
6. Distribuições levam um conjunto (no caso , uma função f(x) ) a um ponto de , ou mais especificamente, no caso do delta de Dirac, leva f(x) a f(0)
7. De um modo mais geral, as distribuições são definidas como classes de equivalências de sequências de funções teste
8. As relações de equivalência a que se referem essas classes são construídas de um modo mais geral, considerando-se que as sequências de funções teste convergem para funções, de fato. Para tanto, é necessário utilizar as derivadas e integrais de outras sequências, ditas fundamentais, que realmente convergem para funções. Por exemplo, no caso das sequências delta, elas seriam igualadas a sequências de derivadas de funções rampa. No caso, as funções rampa convergem para o degrau de Heaviside, que é de fato uma função, embora não contínua.

Essa abordagem mais rigorosa será objeto de uma discussão futura.

Referências

Antosik,P. , Mikusinski,J. , Sikorski,R. – Theory of distributions – The sequential approach. Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, PWN – Polish Scientific Publishers, Warszava, 1973

Tao, Terence – Distributions – pre-print available at http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/distribution.pdf

]]> http://jkogler.wordpress.com/2008/06/14/delta-de-dirac-ou-impulso-unitario/feed/ 6 J Kögler Step and pulse functions Dirac and Heaviside functions Dirac delta derivative http://jkogler.wordpress.com/2008/06/05/numeros-complexos-e-exponenciais-complexas/ http://jkogler.wordpress.com/2008/06/05/numeros-complexos-e-exponenciais-complexas/#comments Thu, 05 Jun 2008 10:08:53 +0000 Joao Kogler http://jkogler.wordpress.com/?p=32 ]]> Objetivos

Discutir alguns aspectos sobre as representações de números complexos e suas propriedades; particularmente, estudar exponenciais complexas.

Definição

Um número complexo z é definido como sendo o par (a,b), em que a e b são números reais,

sujeito às seguintes regras algébricas:

dados e

• Igualdade –
• Adição e Subtração -
• Multiplicação –
• Divisão –

As operações acima possuem as mesmas propriedades das respectivas operações definidas para os números reais (comutatividade, associatividade e distributividade), definindo-se:

• Elemento neutro da adição –
• Elemento neutro da multiplicação –

Adicionalmente, define-se a chamada unidade imaginária como sendo

A unidade imaginária tem as seguintes propriedades operatórias:

• propriedade 1 –
• propriedade 2 –

O número z = (a,b) assim definido é denominado de complexo, por ser formado por mais de uma componente numérica, sendo suas componentes a e b denominadas respecivamente de parte real e parte imaginária e escreve-se

eee

.

Número complexo conjugado

Define-se o conjugado do número complexo z = (a,b) como sendo o número .

• propriedade do conjugado –

A grandeza |z| denomina-se o módulo do número complexo z.

.

Representação Geométrica

.

Coordenadas cartesianas

O número complexo z = (a,b) é representado em coordenadas cartesianas por z = a + i b .

A figura 1 apresenta uma representação gráfica de z. O sistema de coordenadas cartesianas representa a parte real no eixo das abcissas e a parte imaginária no eixo das ordenadas.

Figura 1 – Representação geométrica de um número complexo

O número complexo é representado graficamente como o vetor de coordenadas . Os versores dos eixos coordenados são, respectivamente (1,0) para o eixo real e (0,1) para o eixo imaginário. Neste caso (0,1) é interpretado como a unidade imaginária também. O plano cartesiano assim construído é denominado de plano complexo ou plano de Argand – Gauss.

Potências de i

Na notação cartesiana, temos:

e assim por diante. Definindo-se e considerando-se os resultados acima, observa-se repetição periódica do padrão na forma de uma série tal que

A tabela abaixo exibe alguns exemplos de valores dessa série.

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Tabela 1 – Potências da unidade imaginária

.

Coordenadas Polares

O número complexo z = a + i b na forma cartesiana, pode também ser representado na forma polar, dada por . A coordenada é dita o módulo de z e a coordenada é dita argumento ou fase de z.

Valem as seguintes relações:

• transformação cartesiana -> polar:
• transformação polar -> cartesiana:

A igualdade entre dois números complexos pode agora ser escrita como:

Dados e tem-se .

As operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação são expressas de maneira mais simples em coordenadas polares:

dados e

• Multiplicação –
• Divisão –
• Potenciação –
• Radiciação –

A operação de adição de dois números complexos é representada graficamente pela adição vetorial dos dois vetores representativos dos números complexos somados, conforme mostrado na figura 2.

Figura 2 – Adição e subtração dos números complexos z1 e z2

A multiplicação e a divisão também podem ser apresentadas como operações gráficas entre vetores (segmentos orientados) no plano complexo. Entretanto, são construções de interesse mais específico e as deixaremos de lado neste momento. Vamos apresentar dois casos particulares dessas construções, que são a multiplicação e divisão pela unidade imaginária .

Figura 3 – Multiplicação e divisão pela unidade imaginária

A divisão pela unidade imaginária também pode ser entendida como multiplicação por , uma vez que

Note-se, conforme ilustrado na figura 3, que multiplicar um número complexo por i equivale a girar esse número de 90 graus, sem alterar seu módulo. Da mesma forma, multiplicar z por -i equivale a girar z de -90 graus.

.

Fórmulas e notação de Euler

Os números complexos podem ainda ser apresentados em uma outra forma bastante útil, decorrente da fórmula de Euler. Se expandirmos a função exponencial em série de Mac Laurin (ou série de Taylor na origem) e fizermos a substituição , obteremos:

Podemos reagrupar os termos dessa série da seguinte forma:

Nessa decomposição consideramos as potências de i , tal como mostradas na tabela 1 acima. Resulta, então:

Podemos identificar o primeiro somatório como sendo a expansão em série de Mac Laurin do e o segundo somatório como sendo a expansão em série de Mac Laurin do .

O resultado assim obtido denomina-se fórmula de Euler, expressa como:

Pode-se utlizar essa expressão para demonstrar as seguintes relações de Euler:

Essas expressões podem ser também verificadas graficamente, no plano de Argand, como ilustrado na figura4 a seguir. Na figura 4, chamamos , sendo o seu conjugado , portanto. Verifica-se graficamente, na fig.4, que

…… e ….. … , …demonstrando, assim, as relações de Euler.

Figura 4 – Relações de Euler para o co-seno e o seno

Note que, no plano de Argand os vetores alinhados de modo estritamente vertical são escritos como .

.

Raízes da unidade

A potenciação no corpo complexo pode ser deduzida utilizando-se a definição da multiplicação em coordenadas polares e aplicando-se a mesma diversas vezes, provando-se por indução finita o resultado já apresentado : .

Particularizando para o caso em que z = 1,

obtem-se a chamada fórmula de Moivre:

Para obter-se a expressão da radiciação deve-se resolver , ou seja, considerando-se e , tem-se:

e, portanto

Dois números complexos são iguais se forem iguais seus módulos e suas fases, respectivamente. Logo:

.

e, consequentemente, .

No caso das raízes da unidade, tem-se: e, portanto:

Portanto, extraindo-se a raiz n-ésima, obtem-se n raizes da unidade. Usualmente denota-se por a raiz para k=1. Empregando-se a fórmula de Moivre, conclui-se que para um k genérico, a raiz pode ser escrita em termos de w como .

Isto é, as raízes serão ,

sendo .

No plano de Argand, as raízes n-ésimas da unidade distribuem-se sobre o círculo initério (centrado na origem), correspondendo aos vértices de um polígono regular de n lados inscrito no círculo, conforme ilustrado na figura 5 abaixo.

Figura 5 – Raízes da unidade, para n=4 e n=6, respectivamente.

]]> http://jkogler.wordpress.com/2008/06/05/numeros-complexos-e-exponenciais-complexas/feed/ 21 J Kögler complex number powers of imaginary unit complex adition and subtraction complex rotation relations of Euler roots of unity http://jkogler.wordpress.com/2008/05/10/henrique-schutzer-del-nero/ http://jkogler.wordpress.com/2008/05/10/henrique-schutzer-del-nero/#comments Sat, 10 May 2008 12:04:16 +0000 Joao Kogler http://jkogler.wordpress.com/?p=31 ]]> Faleceu ontem, 9 de maio, pela manhã, em sua residência, o carissimo prof.Dr. Henrique Del Nero. Ele foi nosso colega e amigo no grupo denominado Cognitio, o qual fundou e liderou durante mais de uma década. Henrique era médico psiquiatra formado pela Universidade de São Paulo e bacharel e mestre em filosofia, também pela USP. Sua especialização em psiquiatria, atividade que exerceu amplamente até seu falecimento, foi realizada no Hospital das Clínicas da FMUSP. Era profundamente interessado pelo entendimento do funcionamento da mente humana e, em sua trajetória para desenvolver seus próprios modelos e explicações, tornou-se um pesquisador largamente multidisciplinar, coroando sua formação com o doutorado em engenharia eletrônica que realizou na Escola Politécnica da USP, obtendo seu título de doutor em 1997. Desde então tem sido professor visitante do departamento de engenharia de sistemas eletrônicos da EPUSP , onde ministrava a disciplina de Ciência Cognitiva, um dos cursos mais frequentados do programa de pós-graduação da Poli. De personalidade extrovertida e carismática, o Henrique tornou-se querido de seus alunos e colegas e sempre motivou discussões que buscava aprofundar até a exaustão, diante de sua incessante busca pelo conhecimento da mente. Em 1997 publicou seu livro O sítio da mente, onde expõe sua visão  sobre o assunto. Publicou  artigos e proferiu várias conferências sobre o tema no decorrer de sua atribulada vida, dividida entre o consultório, o ensino e pesquisa e sua família, pela qual sempre demonstrou um enorme afeto. Henrique caracterizou-se por ser uma pessoa eclética e que cultivava intensamente a razão e a emoção, o que tornou sua abordagem do problema cognitivo bastante atraente e lhe rendeu atrair um  círculo de interessados ao grupo que criou e liderou. O Cognitio começou como um grupo de estudos de ciência cognitiva, sediado pelo Instituto de Estudos Avançados da USP, o qual Henrique criou em 1990 e promoveu diversos encontros e reuniões semanais até seu término, em 1997, quando foi transformado no Cognitio. Em 1997, Henrique juntou-se ao corpo de pesquisas do Laboratório de Sistemas Integráveis da Poli, para onde trouxe o grupo Cognitio e desde então teve seus encontros e reuniões realizados no prédio da engenharia elétrica da Poli. Em 2003 o grupo tornou-se um Núcleo de Apoio à Pesquisa ( NAP ) da USP no tema ciência cognitiva. Ontem nos reuniamos às 16:00 horas, para planejar os próximos passos de expansão do Cognitio como NAP. Presentemente buscavamos expandir a participação de mais pesquisadores associados ao grupo. Foi com grande tristeza e consternação que recebemos a notícia do falecimento do Henrique. Será sempre saudosa a sua querida memória entre todos nós.

Comparar experimentalmente a resistência fornecida pela lei de Ohm e a resistência incremental, para um resistor não-linear (continuação da postagem anterior).

Introdução

Discutimos na postagem anterior os métodos de se calcular a resistência de um bipolo resistivo genérico, nomeadamente, (i) método incremental e (ii) pela razão tensão/corrente. Todavia, ali comparamos a aderência de um método ao outro e não testamos a validade da lei de Ohm para um bipolo genérico, cuja resistência tenha sido calculada pelo método incremental.

A lei de Ohm afirma que a tensão em um resistor é diretamente proporcional à corrente que passa pelo mesmo. Conforme mencionamos antes, isso só é verdadeiro para bipolos ditos ôhmicos ou resistores lineares.

A resistência elétrica de um bipolo (operando em regime DC) pode ser obtida de duas formas:

• Resistência pontual – divide-se a tensão pela corrente
• Resistência incremental – divide-se os incrementos correspondentes na tensão e na corrente

Aqui denotamos a resistência pontual por , embora isso não deva ser interpretado como observância da lei de Ohm pelo comportamento do bipolo. Pode ser que o bipolo seja não-ôhmico.

Figura 1 – Definições da resistência elétrica

A figura 1 ilustra as definições de resistência. Os gráficos são apenas ilustrativos, não significando que uma das resistências seja sempre maior que a outra.

.

Comparação das definições e a lei de Ohm

Considere o conjunto de dados exibidos na figura 2 abaixo, que foram obtidos com uma lâmpada incandescente (lâmpada de filamento de tungstênio de tensão nominal 12 V e potência nominal 5 W) ensaiada com tensões de 0,5 a 9,5 V e incrementos de 0,5 V. Calcularam-se as resistências segundo as definições dadas acima.

Figura 2 – Tensões, correntes e resistências na lâmpada incandescente

Note que a resistência incremental oscila bastante, devido ao seu caráter de ser uma razão de incrementos, que aproxima a derivada da função I x V. A derivada amplia as flutuações da função, uma vez que ela exprime a taxa de variação para um dado incremento.

Verifiquemos agora se a lâmpada da figura 2 se comporta como um bipolo ôhmico em algum intervalo de tensões e correntes, dentro de uma tolerância de desvio de até 5%, por exemplo. Para tanto, devemos dispor de um modelo de referência. Uma das formas de se obter um modelo seria ajustar uma reta que melhor caracterize a regressão linear dos dados, segundo um critério de mínimo erro quadrático, para cada um dos dois casos acima ( e ).

O método de regressão linear foi revisto em uma postagem anterior, em que buscamos obter a reta do tipo y = ax, sendo a = estimativa da resistência. Naquela ocasião, a intenção era obter uma reta passando pela origem. Agora desejamos retas que melhor se ajustem aos segmentos “mais lineares” dos gráficos das resistências. Ou seja, desejamos retas do tipo y = ax + b, com .

Realizando os ajustes de regressão linear de mínimos quadrados para os dados da figura 2, obtemos os seguintes resultados:

• Resistência pontual:
• Resistência incremental:

Utilizamos a variável k nas expressões acima para indicar a variável indepdendente, porém no presente caso ela coincide com a tensão aos terminais da lâmpada, isto é , , com . A figura 3 apresenta os resultados do ajuste.

Figura 3 – à esquerda, os resultados do ajuste de regressão linear e à direita os gráficos dos erros. No gráfico da direita há a indicação da cota de 5% de desvio

Note que a flutuação no caso da resistência incremental é bastante grande em torno da reta melhor ajustada. Os gráficos dos erros mostram os erros relativos, dados pelas expressões:

sendo que denotamos por e os valores das resistências obtidos das retas do ajuste linear e, por e , os valores obtidos dos cálculos das resistências incrementais e pontuais, respectivamente.

Na figura 3 está indicado no gráfico da direita a cota de 5% de desvio, que permite determinar o intervalo em que a lâmpada tem um comportamento ôhmico com desvio inferior a 5%. Os resultados obtidos com a resistência pontual indicam uma faixa relativamente extensa e em concordância com o que se esperaria observando-se a figura 2. Já a resistência incremental não só apresenta ero grande, como também mostra uma tendência contraditória à exibida pela resistência pontual. Veja a figura 3 à esquerda – a resistência incremental apresenta uma tendência mais linear para valores menores de V do que para valores maiores, ao passo que o contrário ocorre com a resistência pontual. Ambos problemas apontam para a instabilidade numérica do cálculo da resistência incremental.

.

Resistência incremental a partir de modelo

Uma forma de se obter melhores valores para a resistência incremental é ajustar um modelo polinomial aos dados da característica corrente x tensão e obter os incrementos e a partir do modelo.

Suponhamos que a curva I x V possa ser modelada por um polinômio do tipo . Nesse caso, tomando-se os logaritmos (de base 10, por exemplo) obteremos .

figura 4

A figura 4 apresenta os gráficos da figura 2, porém em escalas logaritmicas (exceto o gráfico da resistência incremental, que é o que desejamos obter a partir do modelo que vamos determinar). Não conhecemos o valor do expoente a da lei polinomial . Porém, ao apresentarmos em gráfico logaritmico, a lei polinomial tornou-se uma correlação linear entre log I e log V. Portanto, ajustando-se uma reta aos pares (log V , log I), poderemos determinar os parâmetros do ajuste polinomial. Note-se, entretanto, que a reta não passará pela origem, de forma que deveremos ter uma reta do tipo y = ax+b com . Realizando-se o ajuste obtemos:

Para apresentar no gráfico, construiremos a reta

apresentada na figura 5 em escala log x log juntamente com os pontos (V,I). Observa-se um excelente ajuste do modelo linear aos pontos.

Figura 5

A lei polinomial será agora obtida a partir de , determinando-se uma constante c tal que b = log c. Temos:

A partir dos pontos (V,I) obtidos do modelo polinomial , pode-se calcular a resistência incremental.

A figura 6 apresenta o gráfico de indicado como . São mostrados também os pontos resultates do cálculo da resistência incremental a partir do modelo polinomial, indicada como . Para efeito de comparação, são também mostrados os gráficos da resistência incremental , anteriormente calculada diretamente dos dados e da resistência pontual . Note agora o comportamento mais regular da resistência incremental.

Figura 6

Podemos agora ajustar uma reta aos pontos da resistência incremental , calculada a partir do modelo e determinar o erro percentual. A figura 7 mostra os gráficos respectivamente da regressão linear dos pontos, denotada por e do erro percentual .

Figura 7

Note a maior semelhança agora dos comportamentos dos erros percentuais da resistência incremental e da resistência pontual . A resistência incremental e o erro são calculados respectivamente por:

A faixa em que a aproximação da lei de Ohm em relação à resistência incremental calculada pelo modelo apresenta desvio inferior a 5% é bastante similar se comparada ao desvio em relação à resistência pontual.