Objetivos
Discutir alguns aspectos sobre a propagação de erros de instrumentação (desvios de medida) .
Desvios de medida e desvios aleatórios podem ocorrer em experimentos de pesquisa e em ensaios de equipamentos e testes de processos. Deve-se cuidar de distingüi-los devidamente:
- Desvios de medida – decorrem do método de medição empregado e das características intrínsecas aos instrumentos (sua sensibilidade e precisão).
- Desvios aleatórios – decorrem da flutuação estatística de variáveis e parâmetros experimentais (das propriedades dos materiais, equipamentos, processos e ambiente).
Os desvios aleatórios são tratados estatisticamente, registrando-se as medidas e analisando-se suas flutuações. Já os desvios de medida, que aqui iremos considerar, são propagados e combinados algebrica e analiticamente.
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Propagação de desvios
Ao passo que se trata os desvios aleatórios com a estatística, os desvios de medida são computados através do que se chama propagação de desvios.
A meta aqui é calcular o resultado da combinação dos desvios provenientes de diversas variáveis relacionadas em uma expressão, avaliando-se sua superposição na forma de um erro total resultante, para cada medida.
Essa superposição se dá em decorrência da dependência funcional entre as medidas. Isto é, se as medidas se somam, se multiplicam ou dependem umas das outras segundo alguma lei matemática, como logaritmo, exponencial, etc.
Por exemplo:
- se duas correntes se somam para produzir uma terceira, o desvio resultante para a corrente total depende do fato de que as suas componentes se somam.
- a resistência ôhmica de um resistor pode ser avaliada dividindo-se a tensão sobre o mesmo pela corrente que o atravessa; desta feita, o desvio no valor da resistência dependerá do fato de que as grandezas usadas para calculá-la são divididas uma pela outra.
- a energia cinética de um corpo depende do produto de sua massa pelo quadrado de sua velocidade; aqui temos duas formas de dependência funcional a considerar: a multiplicação e a potenciação (ao quadrado).
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Definições
Sejam as grandezas G1, G2 e G3. Digamos que G3 é calculada a partir de G1 e G2.
Sejam os desvios das medidas dessas grandezas.
são conhecidos (por exemplo, são fornecidos pelo fabricande dos equipamentos usados para medir G1 e G2, ou foram determinados anteriormente de alguma forma experimental).
Nosso objetivo com a propagação de erros é calcular .
Em resumo:
Sabe-se que
O que se deseja calcular é
Ou seja, sabendo-se a funcionalidade f que junta G1 e G2 para produzir a grandeza G3, queremos descobrir qual é a função F que produz a partir do que se conhece.
Desvios absolutos – são
Desvios relativos – são definidos respectivamente por
.
Adição e Subtração
Quando G3 for a soma ou a diferença de G1 e G2, os desvios absolutos se somam, isto é:
Se , então
Demonstração:
.
Multiplicação e Divisão
Quando G3 for o produto ou o quociente de G1 por G2, os desvios relativos se somam, isto é:
Se ou
, então
Demonstração:
a) caso de multiplicação
A parcela é uma variação de 2a ordem e seu valor encontra-se além da precisão de medição, portanto pode ser desprezada. Logo, resulta:
Calculando-se o erro relativo com a expressão resultante, tem-se:
b) caso de divisão
Demonstra-se de forma semelhante ao caso anterior, porém usando-se de um artifício para contornar a divisão:
Conduzindo-se o mesmo raciocinio usado no ítem (a), conclui-se que:
pois corresponde ao pior caso.
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Dependência funcional genérica
Neste caso G3 = f (G1,G2). Consideremos aqui apenas o caso mais simples, em que ou
. Nosso objetivo é determinar o desvio absoluto em G3, dado por
ou
.
O desvio absoluto pode ser obtido por expansão da função f por série de Taylor. Para facilitar a notação, vamos descrever genericamente a dependência funcional por
e expandir f em torno de um ponto
.
Expandindo-se f em série de Taylor, vem:
Considerando-se vem:
Como fizemos anteriormente, descartaremos os termos com expoente superior a 1, pois representam variações que vão além da precisão estabelecida, resultando:
Lembrando que a variação em y é vem:
Conclui-se, então, que: para o desvio absoluto em G3 é:
Exemplos de uso:
Exemplo 1:
Dependência na forma de lei de potência k : seja o caso em que
Portanto,
Exemplo 2:
Dependência na forma de lei logaritmica : seja o caso em que
Portanto,
1 comentário
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março 18, 2008 às 2:04 am
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