Objetivos

Discutir alguns aspectos sobre a propagação de erros de instrumentação (desvios de medida) .

Desvios de medida  e desvios aleatórios podem ocorrer em experimentos de pesquisa e em ensaios de equipamentos e testes de processos. Deve-se cuidar de distingüi-los devidamente:

  • Desvios de medida – decorrem do método de medição empregado e das características intrínsecas aos instrumentos (sua sensibilidade e precisão).
  • Desvios aleatórios – decorrem da flutuação estatística de variáveis e parâmetros experimentais (das propriedades dos materiais, equipamentos, processos e ambiente).

Os desvios aleatórios são tratados estatisticamente, registrando-se as medidas e analisando-se suas flutuações. Já os desvios de medida, que aqui iremos considerar, são propagados e combinados algebrica e analiticamente.

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Propagação de desvios

Ao passo que se trata os desvios aleatórios com a estatística, os desvios de medida são computados através do que se chama propagação de desvios.

A meta aqui é calcular o resultado da combinação dos desvios provenientes de  diversas variáveis relacionadas em uma expressão, avaliando-se sua superposição na forma de um erro total resultante, para cada medida.

Essa superposição se dá em decorrência da dependência funcional entre as medidas. Isto é, se as medidas se somam, se multiplicam ou dependem umas das outras segundo alguma lei matemática, como logaritmo, exponencial, etc.

Por exemplo:

  • se duas correntes se somam para produzir uma terceira, o desvio sistemático resultante para a corrente total depende do fato de que as suas componentes se somam.
  • a resistência ôhmica de um resistor pode ser avaliada dividindo-se a tensão sobre o mesmo pela corrente que o atravessa; desta feita, o desvio no valor da resistência dependerá do fato de que as grandezas usadas para calculá-la são divididas uma pela outra.
  • a energia cinética de um corpo depende do produto de sua massa pelo quadrado de sua velocidade; aqui temos duas formas de dependência funcional a considerar: a multiplicação e a potenciação (ao quadrado).

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Definições

Sejam as grandezas G1, G2 e G3. Digamos que G3 é calculada a partir de G1 e G2.

Sejam \Delta G1, \Delta G2 \, e \Delta G3 os desvios sistemáticos nessas grandezas.

\Delta G1 \, e \Delta G2 são conhecidos (por exemplo, são fornecidos pelo fabricande dos equipamentos usados para medir G1 e G2, ou foram determinados anteriormente de alguma forma experimental).

Nosso objetivo com a propagação de erros é calcular \Delta G3 .

Em resumo:

Grandeza \, 1 = G1 \pm \Delta G1

Grandeza \, 2 = G2 \pm \Delta G2

Grandeza \, 3 = G3 \pm \Delta G3

Sabe-se que G3 = f( G1 \,,\, G2)

O que se deseja calcular é \Delta G3 = F( \Delta G1 \,,\, \Delta G2)

Ou seja, sabendo-se a funcionalidade f que junta G1 e G2 para produzir a grandeza G3, queremos descobrir qual é a função F que produz \Delta G3 a partir do que se conhece.

Desvios absolutos – são \Delta G1, \Delta G2 \, e \Delta G3

Desvios relativos – são definidos respectivamente por \frac{\Delta G1}{G1}, \frac{\Delta G2}{G2} \, e \, \frac{ \Delta G3}{G3}

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Adição e Subtração

Quando G3 for a soma ou a diferença de G1 e G2, os desvios absolutos se somam, isto é:

Se G3 = G1 \pm G2 , então \Delta G3 = \Delta G1 + \Delta G2

Demonstração:

G3 \pm \Delta G3 = (G1 \pm \Delta G1) \pm (G2 \pm \Delta G2) \Rightarrow \Delta G3 = \Delta G1 \pm \Delta G2

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Multiplicação e Divisão

Quando G3 for o produto ou o quociente de G1 por G2, os desvios relativos se somam, isto é:

Se \, G3 = G1 \times G2 \, ou \, G3 = G1 \div G2 \, , então \, \frac{\Delta G3}{G3} = \frac{\Delta G1}{G1} + \frac{ \Delta G2}{G2}

Demonstração:

a) caso de multiplicação

\begin{array}{lcl} G3 \pm \Delta G3 & = & (G1 \pm \Delta G1) \times (G2 \pm \Delta G2) \Rightarrow \\ & = & G1 \cdot G2 \pm G1 \cdot \Delta G2 \pm G2 \cdot \Delta G2 \pm \Delta G1 \cdot \Delta G2 \end{array}

A parcela \Delta G1 \cdot \Delta G2  é uma variação de 2a ordem e seu valor encontra-se além da precisão de medição, portanto pode ser desprezada. Logo, resulta:

G3 \pm \Delta G3 = G1 \cdot G2 \pm (G1 \cdot \Delta G2 \pm G2 \cdot \Delta G2) \rightarrow \Delta G3 = G1 \cdot \Delta G2 \pm G2 \cdot \Delta G2

Calculando-se o erro relativo com a expressão resultante, tem-se:

\frac{\Delta G3}{G3} = \frac{G1 \cdot \Delta G2 \pm G2 \cdot \Delta G2}{G1 \cdot G2} \, \longrightarrow \, \frac{\Delta G3}{G3} = \frac{\Delta G1}{G1} + \frac{ \Delta G2}{G2}

b) caso de divisão

G3 \pm \Delta G3 = \frac{G1 \pm \Delta G1} {G2 \pm \Delta G2}

Demonstra-se de forma semelhante ao caso anterior, porém usando-se de um artifício para contornar a divisão:

(G3 \pm \Delta G3) \times (G2 \pm \Delta G2) = G1 \pm \Delta G1

Conduzindo-se o mesmo raciocinio usado no ítem (a), conclui-se que:

\pm \frac{\Delta G1}{G1} = \frac{\Delta G3}{G3} \pm \frac{ \Delta G2}{G2} \, \longrightarrow \, \frac{\Delta G3}{G3} = \frac{\Delta G1}{G1} + \frac{ \Delta G2}{G2}

pois corresponde ao pior caso.

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Dependência funcional genérica

Neste caso G3 = f (G1,G2). Consideremos aqui apenas o caso mais simples, em que G3 = f(G1) ou G3 = f(G2) . Nosso objetivo é determinar o desvio absoluto em G3, dado por \Delta G3 = F( \Delta G1 ) ou \Delta G3 = F( \Delta G2 ) .

O desvio absoluto \Delta G3 pode ser obtido por expansão da função f por série de Taylor. Para facilitar a notação, vamos descrever genericamente a dependência funcional por y = f(x) e expandir f em torno de um ponto x_0 .

Expandindo-se f em série de Taylor, vem:

f(x) = f(x_0)+ \frac{df}{dx}(x-x_0) + \frac{1}{2!}\frac{d^2f}{dx^2}(x-x_0)^2 + \frac{1}{3!}\frac{d^3f}{dx^3}(x-x_0)^3 +\dots

Considerando-se x - x_0 = \Delta x \,,\, vem:

f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)+ \frac{df}{dx}\Delta x + \frac{1}{2!}\frac{d^2f}{dx^2}\Delta x^2 + \frac{1}{3!}\frac{d^3f}{dx^3}\Delta x^3 +\dots

Como fizemos anteriormente, descartaremos os termos com expoente superior a 1, pois representam variações que vão além da precisão estabelecida, resultando:

f(x_0 + \Delta x) \simeq f(x_0)+ \frac{df}{dx}\Delta x

Lembrando que a variação em y é \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \,,\,  vem:

f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) =\frac{df}{dx}\Delta x \, \longrightarrow \, {\Delta y} =\frac{df}{dx} {\Delta x }

Conclui-se, então, que: para \Delta G3 = F( \Delta G1 ) o desvio absoluto em G3 é:

{\Delta G3} =\frac{dF}{dG1} {\Delta G1 }

Exemplos de uso:

Exemplo 1:

Dependência na forma de lei de potência k : seja o caso em que G3 = G1^k

{\Delta G3} =\frac{d \, G1^k}{dG1} {\Delta G1 } = k\, { G1^{k-1}}{\Delta G1 } = k\, \frac{ G1^k }{G1}{\Delta G1 } = k\, G3\frac{\Delta G1 }{G1}

Portanto, \frac{\Delta G3}{G3} = k\, \frac{\Delta G1 }{G1}

Exemplo 2:

Dependência na forma de lei logaritmica : seja o caso em que G3 = \log_k {G1}

{\Delta G3} =\frac{d \, \log_k{G1} }{dG1} {\Delta G1 } = \frac{d}{dG1}(\frac{\ln {G1}}{\ln {k}}) {\Delta G1 } = \frac{1}{\ln {k}} \frac{d}{dG1} (\ln {G1}) \Delta G1

Portanto, \Delta G3 = \frac{1}{\ln {k}}\, \frac{\Delta G1 }{G1}