Objetivos

Determinar experimentalmente o valor da resistência de um resistor que obedece à lei de Ohm.

Introdução

A lei de Ohm afirma que a tensão em um resistor é diretamente proporcional à corrente que passa pelo mesmo. Isso siginifca que:

  • A tensão varia linearmente com a corrente
    • Ou seja, multiplicando-se por uma constante k a corrente, a tensão também fica multiplicada por k
    • Aumentando-se a corrente de uma quantidade \Delta i , a tensão aumenta de R vezes esse valor, definindo-se como R a resistência elétrica, medida em Ohms (\Omega ).

Seja R_{Ohm} a resistência elétrica, a qual corresponde à constante de proporcionalidade da lei de Ohm. Tem-se, então:

V = R_{Ohm} \times I

  • Essa lei é válida para resistores ditos lineares (o que é uma boa aproximação para dispositivos usados como resistores comerciais, em geral)
  • Ela não é válida para dispositivos não-lineares (p. ex., lâmpadas incandescentes)

Resistores Lineares

Façamos uma verificação experimental da validade da lei de Ohm para resistores comerciais. Dado um certo resistor comercial, vamos submete-lo a uma série de valores crescentes de tensões V_k  \; , \; 0 \leq k \leq n   e medir a corrente I_k   resultante, para cada V_k    e, com estes dados calculemos as resistências R_k = V_k / I_k   em cada ponto.

Naturalmente, como há intervenção de flutuações estatísticas no experimento, espera-se que os R_k sejam ligeiramente diferentes uns dos outros, como se pode verificar na tabela mostrada na figura 1.

ohm-regression.jpg

Figura 1- Tensões em V, correntes em mA e resistências em k \Omega

Fazendo-se um gráfico, pode-se apreciar o não alinhamento perfeito dos pontos, devido às flutuações de medida acrescidas de suas incertezas. Isto é, para cada ponto (V_k \, , \, I_k) haverão incertezas (\Delta V_k \, , \, \Delta I_k) associadas aos dados. Isto é exibido graficamente construindo-se com o centro em cada ponto (V_k \, , \, I_k) suas barras de erro, que correspondem aos eixos de elipses de incerteza. Qualquer ponto contido dentro de uma elipse de incerteza é representativo de um dado experimental, pois corresponde a uma medida afetada de incerteza. A reta que melhor representa a dependência linear dos dados, passará por algum ponto de todas essas elipses.

Gostariamos, então, de encontrar um valor único de R que representasse o conjunto de valores R_k \; , \; 0 \leq k \leq n , de modo a caracterizar a constante de proporcionalidade R_{Ohm}  da lei de Ohm. Este valor R que procuramos corresponderá ao coeficiente angular da reta melhor ajustada aos pontos experimentais, passando pela origem. Vamos determiná-lo aplicando-se o método de ajuste de mínimos quadrados, também denominado regressão linear de mínimos quadrados.

Consideremos, então, que cada ponto experimental (V_k \, , \, I_k) afasta-se do ponto ideal (R \cdot I_k \, , \, I_k) , produzindo um erro \epsilon_k  . A figura 2 ilustra essa definição, mostrando à esquerda um detalhe retirado do gráfico à direita, em que são exibidos todos os pontos experimentais (elipses) e uma estimativa do que seriam os pontos ideais (círculos).

ohm-regression.jpg

Figura 2 – À esquerda: detalhe do gráfico à direita.

Para cada ponto o erro será, então: \epsilon_k =  V_k - R \cdot I_k

em que R representa o valor que desejamos encontrar. Esse valor é obtido calculando-se o erro total e determinando-se o valor de R que o torna mínimo. Suponhamos que a flutuação dos dados seja simétrica, isto é, sem nenhuma tendência ou vício. Assim sendo, a probabilidade de se errar por excesso é igual à de errar por falta. desta feita, usaremos como estimador do erro total a soma dos erros ao quadrado em cada ponto, evitando-se assim o cancelamento estatístico do erro total. Isto é o que se denomina erro total quadrático, que em nosso caso será:

\begin{array}{rcl}  \epsilon^2  & =  &  \sum_k \epsilon_k^2 \\  & = &  \sum_k ( V_k - R \cdot I_k )^2    \end{array}

Logo, o valor de R que procuramos é o argumento que minimiza \epsilon^2 , que é dado pelo ponto em que se anula a sua derivada em relação a R. Portanto:

\begin{array}{rcl}  \frac {d}{dR}\epsilon^2 & = & \frac {d}{dR} \; \sum_k \epsilon_k^2 \\  & = & \frac {d}{dR} \; \sum_k ( V_k - R \cdot I_k )^2 \\ & = & \sum_k \frac {d}{dR} \left [ ( V_k - R \cdot I_k )^2  \right ]  \\  & = & \sum_k  2 ( V_k - R \cdot I_k ) \cdot \frac {d}{dR} \left [ ( V_k - R \cdot I_k )  \right ]   \\ & = &  \sum_k  2 ( V_k - R \cdot I_k ) \cdot  ( - \, I_k ) \end{array}

Agora, devemos achar o valor de R para o qual a derivada calculada se anula:

\sum_k  2 ( V_k - R \cdot I_k ) \cdot  ( - \, I_k ) = 0

- 2 \cdot \left [ \sum_k  ( V_k \cdot I_k )  + R \sum_k  ( I_k^2 )  \right ] = 0

Consequentemente,

R =  \frac{\sum \limits_k  ( V_k \cdot I_k )}{\sum \limits_k  ( I_k^2 )}