Objetivos

Apresentar o conceito e algumas propriedades importantes do impulso unitário e suas aplicações.

O degrau unitário de Heaviside

Considere a seguinte função f(x) , contínua e seccionalmente diferenciável:

f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x \le x_0 \\ \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}, & \mbox{para } x\in [x_0,x_1] \\ 1, & \mbox{para } x \ge x_1 \end{cases}

Essa função é conhecida como “rampa” limitada, ou rampa saturada. Sua derivada é definida em toda parte, exceto nos pontos x_0 e x_1 :

\frac{d}{dx} f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x < x_0 \\\frac{1}{x_1 - x_0}, & \mbox{para } x\in (x_0,x_1) \\ 0, & \mbox{para } x > x_1 \end{cases}

A função e sua derivada são ilustradas na figura 1a. Suponha, agora, que façamos x_1 \to x_0 . No limite, obteremos H(x) , o chamado degrau unitário, proposta por Heaviside para descrever transições abruptas idealizadas. Sua “derivada” pode ser estimada a partir da derivada de f(x), fazendo-se x_1 tender a x_0 . Essa construção está ilustrada nas figura 1b e 1c.

Step and pulse functions

Figura 1 – a) Função rampa e sua derivada; b) e c) Rampa tendendo ao degrau unitário; d) Situação limite

Na figura 1d a função f(x) transformou-se praticamente no degrau unitário de Heaviside, ou H ( x - x_0 ) , definida como:

H(x-x_0) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x \leq x_0 \\ 1, & \mbox{para } x > x_0 \end{cases}

A altura do pulso correspondente à derivada aumenta progressivamente na proporção inversa à diminuição do tamanho do intervalo \left ( x_0,x_1 \right ) , enquanto sua área se mantém igual a 1. No caso limite, em que x_1 \to x_0 , ilustrado na fig. 1d, a largura do pulso torna-se nula e sua altura tende ao infinito, ainda preservando sua área unitária. Nessa situação, diz-se que o pulso tendeu ao impulso unitário .

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O impulso unitário, ou Delta de Dirac

É muito frequente depararmos com a seguinte “definição” do impulso unitário, denotado por \delta ( x - x_0 ) e denominado também de delta de Dirac:

\delta(x-x_0) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x \ne x_0 \\ \infty , & \mbox{para } x = x_0 \\ \mbox{com } & \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta(x-x_0) \, dx \; = \, 1 \end{cases}

Todavia,interpretar tal “definição” como uma função não é correto, pois (i) não define uma função, uma vez que \infty não é um valor que se possa atribuir a um ponto do domínio e, (ii) muito menos é integrável, já que diverge em x_0 .

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Propriedades do Delta de Dirac

Vamos adiar por ora a definição correta do Delta de Dirac e examinemos antes algumas de suas propriedades seguindo um raciocínio heurístico, com o intuito de facilitar a compreensão da definição que será dada mais adiante.

Propriedade de Filtragem

Seja f(x) uma função defnida em \left [ {-\infty , +\infty} \right ] , suave (i.e., sempre diferenciável sucessivamente) e de suporte compacto (i.e., por simplicidade, que se anula em {\bf - \infty } e { \bf + \infty} ). O delta de Dirac \delta (x) apresenta a seguinte propriedade, denominada propriedade de filtragem:

\int \limits_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \delta(x-x_0) \, dx \; = \; f( x_0 )

A questão se a integral acima está definida terá de ser examinada com cuidado mais adiante. Além disso, nenhuma “função” \delta (x) é capaz de satisfazer à expressão acima para uma f(x) arbitrária. O delta de Dirac deve possuir uma estrutura peculiar, distinta da de função, conforme veremos mais adiante, para que a propriedade acima seja válida.

Supondo-se que exista uma tal “função” \delta (x) e levando-se em conta o fato de que ela só não seria nula em uma vizinhança “infinitesimal” \left [ {x_0 - \epsilon} \, , \, {x_0 + \epsilon} \right ] , poderíamos, através de mais um exercício de heurística, escrever:

\int \limits_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \delta(x-x_0) \, dx \; = \; \int \limits_{x_0 - \epsilon} ^{x_0 + \epsilon} f(x) \delta(x-x_0) \, dx \; = \; f( x_0 ) \int \limits_{- \epsilon} ^{+ \epsilon} \delta(x) \, dx \; = \; f( x_0 )

mostrando ser razoável esperar-se algo como a propriedade de filtragem.

Integral indefinida do Delta de Dirac

O Delta de Dirac surgiu como consequência da derivação do degrau de Heaviside, conforme ilustrado na figura 1d. Portanto, é razoável dizer que a integral indefinida ou a “primitiva” do delta de Dirac seja o degrau de Heaviside, escrevendo-se:

\int \delta(x) \, dx \; = \, H(x)

Entretanto, isto trará consequências para a interpretação de H(x) que, conforme veremos adiante, será interpretada como um objeto matemático da mesma natureza do delta de Dirac.

Representaremos graficamente o impulso usando-se uma seta vertical apontando para cima, colocada no ponto x_0 para indicar sua localização. Quando o impulso for multiplicado por uma constante negativa, indicaremos a seta vertical apontando para baixo. A figura 2 ilustra essa notação e a propriedade de filtragem.

Dirac and Heaviside functions

Figura 2 – a) notação para o delta de Dirac ; b) propriedade de filtragem do delta de Dirac

Derivada do Delta de Dirac

Construimos o conceito do delta de Dirac como sendo a função para a qual o pulso de área unitária tende quando sua largura é feita tender a zero, levando sua altura ao infinito. Podemos construir heuristicamente o conceito da derivada do delta de Dirac derivando-se o pulso de área unitária e examinando-se o efeito sobre a derivada quando a largura o pulso tende a zero. A figura 3 ilustra esse processo.

Dirac delta derivative

Figura 3 – Construção da derivada do delta de Dirac usando-se a derivada do pulso: a) o pulso retangular como sendo a diferença de dois degraus: H(x-x_0) - H(x-x_1) ; b) a derivada do pulso como sendo a derivada da diferença dos dois degraus H(x-x_0) - H(x-x_1) ; c) a derivada do pulso para o \lim x_1 \to x_0 , que corresponde à derivada do delta de Dirac .

O pulso pode ser entendido como a diferença de dois degraus de Heaviside, o primeiro localizado em x_0 e o segundo em x_1 . Portanto, a derivada do pulso pode ser indicada como dois deltas de Dirac, um positivo em x_0 e um negativo em x_1 , pois esses deltas são as respectivas derivadas dos degraus.

Mudança de escala do argumento do Delta de Dirac

Demonstraremos que se a variável independente x muda de escala por um fator a, o delta de Dirac muda de escala por um fator 1/a , ou seja

\delta (a \cdot x) = \frac{1}{\mid a \mid} \delta (x)

Essa propriedade pode ser demonstrada, verificando-se que a expressão acima satisfaz propriedades fundamentais do delta de Dirac:

Se a > 0 : \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \mid a \mid \delta (a \cdot x) dx = \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta (a \cdot x) d(a \cdot x) = \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta (\xi) d\xi

Se a < 0 : \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \mid a \mid \delta (a \cdot x) dx = - \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta (a \cdot x) d(a \cdot x) = \int \limits_{+ \infty}^{- \infty} \delta (\xi) d\xi , com \xi = -ax

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Construção do Delta de Dirac por sequências de funções

O delta de Dirac pode ser construido através de sequências de funções \phi_n (x) , que convergem para uma relação denotada por \delta ( x ) (definida sobre \{ x \in \Re \} ) tal que:

\delta(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{para } x \ne 0 \\ \infty , & \mbox{para } x = 0 \\ \mbox{com } & \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \delta(x) \, dx \; = \, 1 \end{cases}

Essa relação não deve ser entendida como uma função. De fato ela é o que se chama de uma distribuição, ou ainda uma função generalizada , mas veremos esses conceitos mais adiante.

Vamos a seguir propor diversas sequências de funções, denotadas por \{ \phi_n (x) \} suaves, isto é, infinitamente diferenciáveis no intervalo \{ -1 , +1 \} . As funções \phi_n (x) estão normalizadas unitariamente, significando que

\int \limits_{-1}^{+1} \phi_n(x) dx = 1

As funções \phi_n (x) são denominadas funções teste ou ainda funções bump (lombada) ou ainda mollifiers .

Observação – Na prática a denominação mollifier se aplica quando se considera o efeito oposto ao de n crescente em \{ \phi_n (x) \} . As funções teste \phi_n (x) vão se tornando cada vez mais “agudas”, ou abruptas, ou estreitas, à medida em que n \to \infty . O mollifier é usado para diminuir acutância, tornando as funções menos abruptas nas descontinuidades. Ele é uma função do tipo das \phi_n (x) que, aplicada a uma função g(x) dotada de descontinuidades abruptas, suaviza g(x) nas descontinuidades. Veja o artigo sobre os mollifiers .

Sequências delta

As sequências de funções teste \{ \phi_n (x) \} que tendem para a relação \delta (x) são denominadas sequências delta. Isto é denotado por \{ \phi_n (x) \} \rightrightarrows \delta(x) , significando

\lim \limits_{n \to \infty}\phi_n(x) = \delta(x)

e ainda,

\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \phi_n(x) f(x) dx = f(0)

para toda f(x) contínua.

As seguintes sequências de funções teste \{ \phi_n (x) \} formam sequências delta:

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a) \phi_n(x)=\begin{cases} n, & x \in \left ( -\frac{2}{n} \; , \;\frac{2}{n} \right ) \\ 0, &x \notin \left ( -\frac{2}{n} \; , \;\frac{2}{n} \right ) \end{cases} (limite de um pulso retangular)

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b) \phi_n(x) = \frac{n}{ \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2 \cdot n^2} (limite de uma função gaussiana)

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c) \phi_n(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{n}{1 + n^2 \cdot x^2} (limite de uma função de Cauchy)

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d) \phi_n(x)=\frac{ \sin\left ( n \cdot\pi x \right ) }{\pi x} (limite de uma função sinc(x) )

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e) \phi_n(x)=\frac{n \cdot e^{-|n x|}}{2} (limite de um pulso exponencial)

Diversas outras sequências de funções teste constituem sequências delta, entre elas sequências de funções de Airy e de funções de Bessel. Os exemplos acima são mostrados em animações contendo alguns exemplares de funções \phi_n (x) , para os valores de n indicados nas animações.

a) sequência delta de pulsos retangulares

b) sequência delta de pulsos gaussianos

c) sequência delta de pulsos de Cauchy

d) sequência delta de pulsos sinc

e) sequência delta de pulsos exponenciais

Equivalência de sequências delta

As sequências acima exemplificadas, bem como outras sequências delta, são equivalentes, segundo a uma certa relação de equivalência que examinaremos em uma ocasião futura. Grosso modo, podemos dizer que como todas as sequências acima apresentadas convergem para a mesma relação \delta ( x ) , então elas são equivalentes. O conjunto de todas as sequências delta formam uma classe de equivalência segundo essa relação de equivalência. Essa classe de equivalência é o que se define como sendo o delta de Dirac , denotado então por \delta ( x ) .

Definição do delta de Dirac

Formalmente:

  • seja \sim uma relação de equivalência entre sequências de funções \phi_n (x) e \psi_n (x) . Diremos que duas sequências de funções teste são equivalentes, se convergem para uma mesma relação R (x) .
  • Isto é: \{ \phi_n (x) \} \sim \{ \psi_n (x) \} \iff \{ \phi_n (x) \} \rightrightarrows R(x) \wedge \{ \psi_n (x) \} \rightrightarrows R(x) .
  • as funções \phi_n (x) são denominadas funções teste.
  • Uma sequência de funções teste \{ \phi_n (x) \} é dita uma sequência delta se \{ \phi_n (x) \} \rightrightarrows \delta(x)
  • Duas sequências delta são equivalentes, pois ambas convergem para \delta ( x )
  • A classe de equivalência constituida pelas sequências delta denomina-se delta de Dirac.
  • Isto é: \delta(x) = \big \{ \{ \phi_n (x) \} \; \mid \; \{ \phi_n (x) \} \rightrightarrows \delta(x) \big \}

Essa definição implica na prática que qualquer função teste que seja membro de uma sequência delta pode ser usada para representar o delta de Dirac em uma certa escala.

Existem aspectos técnicos que requerem maior rigor e, neste primeiro contato estamos suprimindo, porém, mencionaremos a seguir:

  1. O delta de Dirac é uma distribuição
  2. Funções e distribuições são objetos matemáticos distintos
  3. Funções permitem a avaliação (evaluation) em um ponto, isto é, x \mapsto f(x)
  4. Distribuições não permitem avaliação no ponto
  5. Funções são relações que levam um ponto de um conjunto (domínio) a precisamente um ponto de outro conjunto (contra-domínio).
  6. Distribuições levam um conjunto (no caso , uma função f(x) ) a um ponto de \Re , ou mais especificamente, no caso do delta de Dirac, leva f(x) a f(0)
  7. De um modo mais geral, as distribuições são definidas como classes de equivalências de sequências de funções teste
  8. As relações de equivalência a que se referem essas classes são construídas de um modo mais geral, considerando-se que as sequências de funções teste convergem para funções, de fato. Para tanto, é necessário utilizar as derivadas e integrais de outras sequências, ditas fundamentais, que realmente convergem para funções. Por exemplo, no caso das sequências delta, elas seriam igualadas a sequências de derivadas de funções rampa. No caso, as funções rampa convergem para o degrau de Heaviside, que é de fato uma função, embora não contínua.

Essa abordagem mais rigorosa será objeto de uma discussão futura.

Referências

Antosik,P. , Mikusinski,J. , Sikorski,R. – Theory of distributions – The sequential approach. Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, PWN – Polish Scientific Publishers, Warszava, 1973

Tao, Terence – Distributions – pre-print available at http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/distribution.pdf