Objetivos

Discussão sobre as relações entre a série de Fourier e a transformada de Fourier.

A análise de Fourier

O objetivo central da análise harmônica é estudar as representações de funções por harmônicas e suas propriedades. Harmônicas são as funções trigonométricas seno e cosseno. A análise harmônica apresenta, de fato, um contexto mais amplo, porém vamos considerar apenas esse aspecto aqui, que consiste essencialmente em estudar as representações via série de Fourier e transformada de Fourier, usualmente referido como análise de Fourier.

Alguns pontos básicos:

  • Funções periódicas são representadas através de séries de Fourier
  • Funções não-periódicas são representadas através de transformadas de Fourier
  • Uma representação de f(x) é uma decomposição em componentes que também são funções
  • As componentes dessa decomposição são as funções trigonométricas sin(x) e cos(x)
  • As funções sin(x) e cos(x) podem ser apresentadas como e^{i x} (ver post anterior)

.

Funções periódicas

Seja f(x) uma função periódica, de período T, isto é: f(x) = f(x + nT) , n inteiro. Uma função como essa pode ser representada por uma superposição de componentes harmônicas cujos períodos “caibam” em T, isto é, que sejam divisores inteiros de T. Este requisito é necessário, para que a superposição tenha a mesma periodicidade que f(x), o que não aconteceria se alguma componente tivesse um período que não “coubesse” em T.

Em geral é mais simples raciocinar em termos de frequências em vez de períodos. Denomina-se frequência fundamental f_0 da função periódica f(x) ao inverso de seu período. À frequência fundamental está associada uma frequência angular fundamental \omega_0 . Temos:

T = \frac{1}{f_0} \; = \frac{2 \pi}{\omega_0}\qquad \omega_0 = 2 \pi f_0 \; = \frac{2 \pi}{T}

Examinemos agora a síntese de funções periódicas através de componentes harmônicas. A síntese o ajudará a compreender melhor a análise, que será examinada mais adiante.

Síntese harmônica de funções periódicas

Entende-se por síntese harmônica a construção de uma função através da adição de componentes harmônicas. As regras que empregaremos para o processo de síntese são as seguintes:

  1. Escolha o valor da frequência fundamental ….. \omega_0
  2. Escolha as componentes que vai utilizar. Elas deverão ser do tipo: A_k \cdot \cos \big ( k \cdot \omega_0 x \big ) ….. e / ou ….. B_k \cdot \sin \big ( k \cdot \omega_0 x \big ) , com k inteiro.
  3. Some as componentes para cada valor de x, produzindo a f(x):

f(x) = \sum \limits_k A_k \cdot \cos \big ( k \cdot \omega_0 x \big ) + B_k \cdot \sin \big ( k \cdot \omega_0 x \big )

O índice inteiro k pode variar de zero a infinito. No caso da síntese, soma-se um número finito de componentes, portanto somente alguns valores de k entre 0 e +\infty irão aparecer. Também pode ser que nem todos os termos em seno ou cosseno apareçam. Isto é, pode ser que um dado A_k ou B_k seja nulo, para um dado valor de k. Quais componentes que irão aparecer depodenderá do aspecto da f(x) que se deseja sintetizar e qual a exatidão da síntese.

Exemplo de síntese

Vamos sintetizar como exemplo uma função para a qual não seja óbvia a escolha das componentes, porém que também não seja tão difícil que não nos permita estimá-los por tentativas. Na figura 1 apresentamos a função que tentaremos sintetizar usando componentes harmônicas. Ela é dada pela expressão:

f(x) = \begin{cases} -4 x +20 , & \mbox{se } 0 \leq x < T \\ f(x - nT), & \mbox{se} \; x \notin \big[ 0 , T \big) \quad n\mbox{ inteiro} \end{cases}

sawtooth waveform

Figura 1 – Função na forma de uma onda em dente-de-serra

O raciocínio que utilizaremos para estimar as componentes será o seguinte:

  • Observando-se a figura 1, notamos que a função se repete com frequência \omega_0 = \frac{2 \pi}{T} , sendo T = 10 (veja o gráfico).
  • Isso sugere que adotaremos componentes periódicas de frequências múltplas inteiras de \omega_0 , isto é k \cdot \omega_0 , k inteiro , isto é, frequências \omega_1 = \frac{2 \pi}{10} , \; \omega_2 = \frac{2 \pi}{20} , \; \omega_3 = \frac{2 \pi}{30} , \dots .
  • As componentes terão amplitudes \pm A_K ou \pm B_K .
  • Note que a função f(x) além de ser periódica, é uma função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x). Portanto, parece ser razoável que suas componentes sejam ímpares também, uma vez que a soma de funções ímpares produz uma função ímpar também (demonstre isso e também demonstre o caso se trocar ípar por par, nessa afirmação, lembrando que função par é aquela em que f(-x) = f(x)).
  • Portanto a f(x) do exemplo deve ter apenas componentes em seno, pois o cosseno é par. Isto é, deveremos ter A_k = 0 \; \forall k \in { \cal Z } .

Esse raciocínio poderia ser adaptado para outros exemplos de funções, naturalmente cuidando de alterar os detalhes convenientemente.

Nas figura 2a a 2h, apresentamos diversos exemplos de tentativa de síntese de uma função f(x) em forma de dente de serra. Em cada figura, à esquerda é apresentada o resultado da superposição das componentes harmônicas (em vermelho), contra a forma original da função, apresentada na fig 1(em linha azul pontilhada). Os gráficos à direita apresentam o erro de aproximação (ponto a ponto, isto é, para cada valor de x) entre as duas funções da esquerda.

Nas figuras 2a e 2b testaremos as regras acima propostas. Em 2a, verificamos que o uso de uma única componente senoidal de frequência igual à de f(x), e também mesma amplitude que f(x), produz uma senóide com boa proximidade em relação a f(x). Portanto, nesse caso

\omega_1 = \omega_0 = \frac{2 \pi}{10} \quad \mbox{e} \quad B_1 = 20

isto é, f(x, \omega_0) \; = \; 20 \cdot \sin (\omega_0 x)

Note que estamos denotando a aproximação de f(x) por f(x, \omega_0)

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Figura 2a – f(x) aproximada por f(x, \omega_0) \; = \; 20 \cdot \sin (\omega_0 x)

Em 2b consideramos adicionar uma componente cosseno de modo a entender seu efeito de função par sobre a síntese de uma aproximação da f(x) que é ímpar. Note que o efeito não é bom, pois deixa o erro assimétrico. A composição do seno e cosseno de mesma frequência produz uma função harmônica defasada (mostre isso), ou seja, nesse caso a f(x) seria escrita como :

f(x,\omega_0) \; = \; 10 \cdot \sin (\omega_0 x) + 10 \cdot \cos (\omega_0 x) \quad = \quad 10 \cdot \sin (\omega_0 x + \phi)

sendo \phi a defasagem dada em relação ao seno. Note que usamos A_1 = b_1 = 10 , de modo a partilhar a amplitude total de f(x), que é igual a 20, entre as duas componentes seno e cosseno, respctivamente.

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Figura 2b – f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 10 \cdot \sin (\omega_0 x) + 10 \cdot \cos (\omega_0 x)

Abandonemos, então, as componentes em cosseno, fazendo todos seu coeficientes nulos, isto é, A_k = 0 \; \forall k \in { \cal Z } .

Testemos, então, o efeito de se colocar uma componente de frequência diferente de \omega_0 , mas que seja múltipla inteira de \omega_0 . Por exemplo, adicionemos a componente de frequência \omega_2 = 2 \cdot \omega_0 . Vamos escolher as amplitudes seguindo nosso critério original de fazer com que a soma da amplitudes totalize 20, que é a amplitude de f(x). Assim sendo, vamos experimentar com B_1 = B_2 = 10 , como mostrado na figura 2c.

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Figura 2c – f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 10 \cdot \sin (\omega_0 x) + 10 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) .

Nota-se na fig.2 nitidamente a melhora da aproximação feita com dois termos, se comparada à aproximação com um termo apenas. O erro fica melhor distribuído, diminuindo em média quadrática (o erro em valor absoluto é muito pequeno tanto com 1 quanto com 2 componentes).

Testemos agora o efeito das amplitudes. Vamos redistribuir as amplitudes das duas componentes, porém ainda usando o critério de manter a soma total igual à amplitude de f(x) , igual a 20. Na fig. 2d utilizamos os valores B_1 = 15 \; , \; B_2 = 5 .

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Figura 2d – f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 15 \cdot \sin (\omega_0 x) + 5 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) .

O resultado melhorou em relação ao anterior. Tentemos nova redistribuição, usando agora os valores B_1 = 13 \; , \; B_2 = 7 , ainda mantendo a soma igual a 20. O resultado é mostrado na figura 2e.

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Figura 2e – f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 13 \cdot \sin (\omega_0 x) + 7 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) .

Agora, o erro parece ter se distribuído melhor ainda que no caso anterior. Tentemos então nova partilha entre coeficientes, usando os valores B_1 = 14 \; , \; B_6 = 7 , conforme mostrado na figura 2f.

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Figura 2f – f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 14 \cdot \sin (\omega_0 x) + 6 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) .

O erro agora baixou um pouco mais, mantendo-se ainda bem distribuído. Tentemos agora inserir mais uma componente, repartindo parte da amplitude da primeira harmônica com a nova componente, de frequência \omega_3 = 3 \cdot \omega_0 . Repartiremos o valor original B_1 = 14 fazendo o novo B_1 = 12 e B_3 = 2 , mantendo B_2 = 6 , conforme mostrado na figura 2g.

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Figura 2g – f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 12 \cdot \sin (\omega_0 x) + 6 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) + 2 \cdot \sin (3 \cdot \omega_0 x) .

O efeito de introdução de mais uma componente repartindo convenientemente as amplitudes, diminuiu mais ainda o erro. Tentemos inserir mais uma componente ainda, repartindo mais um pouco da amplitude da maior componente e mantendo as demais, fazendo agora B_1 = 12 \, , \; B_2 = 6 \, , \; B_3 = 2 \, , \; B_4 = 0,5 , com \omega_4 = 4 \cdot \omega_0 , conforme mostrado na figura 2h.

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Figura 2h – f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 11,5 \cdot \sin (\omega_0 x) + 6 \cdot \sin (2 \cdot \omega_0 x) + 2 \cdot \sin (3 \cdot \omega_0 x) + 1,5 \cdot \sin (4 \cdot \omega_0 x) .

A distribuição do erro melhorou mais ainda, se comparado à tentativa anterior. Porém, torna-se cada vez menor a melhora obtida de um caso para o seguinte. Nosso critério de tentativas está se esgotando e precisamos de um critério melhor. Antes de discutir o novo critério, vamos testar mais um fato mencionado anteriormente.

Testemos, agora, o efeito de se colocar uma componente de frequência diferente de \omega_0 , mas que não seja múltipla inteira de \omega_0 . Isto está ilustrado na figura 2i. Utilizamos uma frequência 10% maior, ou seja 1,1 \cdot \omega_0 , e apenas uma componente, para evidenciar melhor o efeito. Note que agora o erro varia a cada período do dente-de-serra original, pois a reconstrução não tem a mesma periodicidade da função a ser sintetizada.

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Figura 2i – f(x) aproximada por f(x,\omega_0) \; = \; 10 \cdot \sin (1,1 \cdot\omega_0 x)

Exemplo de síntese – resultado ótimo

Suponha que alguém lhe dissesse que uma boa aproximação da f(x) dente-de-serra fosse:

f(x) = {\bf B^T \, E} , … com … {\bf E } = \big[ E_k \big] …. tal que …. E_k = \sin ( k \cdot \omega_0 )

e … {\bf B^T } = \begin{bmatrix} 12,7 & 6,4 & 4,2 & 3,2 & 2,5 & 2,1 & 1,8 & 1,6 & 1,4 \end{bmatrix}

para k = 9 componentes harmônicas. Usando essa aproximação, obtém-se os resultados mostrados na figura 2j.

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Figura 2j – f(x) aproximada por f(x) = {\bf B^T \, E} , tal como descrito no texto.

Agora o resultado obtido é incomparavelmente melhor que os anteriores. A questão é: como obter esses valores ótimos de coeficientes ?

Análise de Fourier de funções periódicas

O objetivo da análise de Fourier é obter essa representação ótima. No caso das funções periódicas, a análise de Fourier provê meios de se calcular os coeficientes A_k e B_k , para uma dada função f(x).

O método para se fazer isso consiste em calcular as integrais abaixo. Mais adiante, iremos justificar esse método. Devemos calcular os coeficientes A_k e B_k , para uma dada função f(x) da seguinte forma:

A_k = \frac{\omega_0}{2 \pi} \; \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega_0}} \, f(x) \cos (k \cdot \omega_0 x) \, dx

B_k = \frac{\omega_0}{2 \pi} \; \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega_0}} \, f(x) \sin (k \cdot \omega_0 x) \, dx

para k inteiro positivo. A rigor, os coeficientes são funções de k e \omega_0 , assim deveríamos escrevê-los como A_k = A(k, \omega_0) e B_k = B(k, \omega_0) .

Calculando-se essas integrais para a função dente-de-serra (veja sua definição acima – lembrar que o limite superior de integração equivale exatamente ao período da função), temos, para k \in \big[ 1 \; , \; 9 \big] :

{\bf A ^T} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

{\bf B^T } = \begin{bmatrix} 12,7 & 6,4 & 4,2 & 3,2 & 2,5 & 2,1 & 1,8 & 1,6 & 1,4 \end{bmatrix}

que são os valores ótimos mostrados anteriormente. Graficamente, temos, para B_k = B(k, \omega_0) (os A_k = A(k, \omega_0) são todos nulos ):

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Figura 3 – (a) componentes B_k = B(k, \omega_0) ; b) superposição das componentes

As componentes individuais sãomostradas na figura 3c abaixo. As amplitudes correspondem ao gráfico da figura 3b.

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Figura 3 (continuação) – (c) componentes B(k, \omega_0) = B_k \sin ( k \cdot \omega_0)

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